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| Aufgabe | Eine Gluhlampe in einer Notbeleuchtung sei ununterbrochen in Betrieb, bis sie
ausfallt. Die Zufallsgröße X, die die (zufällige) Lebensdauer der Glühlampe angibt,
sei exponentialverteilt. Weiter sei bekannt, dass derartige Glühlampen im Mittel
eine Lebenszeit von 6000 Stunden besitzen, d.h. X ~ Exp(6000^-1).
c) Entsprechend einer Sicherheitsvorschrift müssen Glühlampen einer Notbeleuchtung
nach 6000 Stunden Betriebszeit ausgewechselt werden. Man gebe die Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße Y an, die die Einsatzzeit (Zeit bis zur Auswechslung oder Ausfall) einer Glühlampe besitzt. |
Meine Frage ist jetzt: die Wahrscheinlichkeit, dass eine Lampe min. x Stunden läuft, ist doch exakt die selbe, nur dass ich bei x > 6000 eine Wahrscheinlichkeit von 0 habe? Nur wie bau ich mir da ne Verteilungsfunktion, die den üblichen Bedingungen entspricht, denn die Exponentialverteilung läuft ja bis unendlich?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Meine Frage ist jetzt: die Wahrscheinlichkeit, dass eine
> Lampe min. x Stunden läuft, ist doch exakt die selbe, nur
> dass ich bei x > 6000 eine Wahrscheinlichkeit von 0 habe?
> Nur wie bau ich mir da ne Verteilungsfunktion, die den
> üblichen Bedingungen entspricht, denn die
> Exponentialverteilung läuft ja bis unendlich?
deine Überlegung ist doch eigentlich sehr zielführend. Unterhalb von 6000 darf sich an den Wahrscheinlichkeiten nichts ändern. Was könntest du mit dem Stück Dichtefunktion tun, damit dies eben so ist, damit aber trotzdem die Fläche unter der Dichte gleich 1 ist. Zur Erinnerung: eine Wahrscheichlichkeit der Form [mm] P(a\le{X}\le{b}) [/mm] berechnet man ja mit der Stammfunktion zu
[mm] P(a\le{X}\le{b})=[/mm] [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm]
...
Gruß, Diophant
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Also wenn ich das richtig verstehe habe ich erstmal für die Dichtefunktion f folgende Definition:
[mm] f(z)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } z > 6000 \\ \lambda * e^{-\lambda*z}, & \mbox{für } 0 < z \le 6000 \\ 0, & \mbox{für } z \le 0 \end{cases}
[/mm]
Jetzt war noch eine Überlegung, [mm] \lambda [/mm] ist ja eigentlich [mm] \bruch{1}{6000}. [/mm] Bleibt das gleich, denn die durchschnittliche Betriebsdauer wird ja sicher niedriger ausfallen, als vorher? Das wiederum würde aber die Wahrscheinlichkeit, das eine Birne bis zu x Stunden läuft ändern.
Wenn ich nun überprüfen möchte, ob die Fläche unter der Dichte 1 ist, müsste ich ja nur [mm] \integral_{0}^{6000}{f(z) dz} [/mm] ausrechnen, da der Rest eh 0 ist.
Ich weiß nicht ich sitze da irgendwie noch nen bisschen auf dem Schlauch, weil eigentlich darf ich ja f(z) nicht ändern, um die Wahrscheinlichkeiten beizubehalten.
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Hallo,
> Also wenn ich das richtig verstehe habe ich erstmal für
> die Dichtefunktion f folgende Definition:
>
> [mm]f(z)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } z > 6000 \\
\lambda * e^{-\lambda*z}, & \mbox{für } 0 < z \le 6000 \\
0, & \mbox{für } z \le 0 \end{cases}[/mm]
>
> Jetzt war noch eine Überlegung, [mm]\lambda[/mm] ist ja eigentlich
> [mm]\bruch{1}{6000}.[/mm] Bleibt das gleich, denn die
> durchschnittliche Betriebsdauer wird ja sicher niedriger
> ausfallen, als vorher?
Das bleibt zwar gleich, aber es hat nicht mehr die Bedeutung, die du ihm beimisst.
> Wenn ich nun überprüfen möchte, ob die Fläche unter der
> Dichte 1 ist, müsste ich ja nur [mm]\integral_{0}^{6000}{f(z) dz}[/mm]
> ausrechnen, da der Rest eh 0 ist.
Das sollte nicht der Fall sein, denn die Exponentialverteilung geht ja bis ins Unendliche, die 6000h sind eine willkürlich festgesetzte Grenze.
> Ich weiß nicht ich sitze da irgendwie noch nen bisschen
> auf dem Schlauch, weil eigentlich darf ich ja f(z) nicht
> ändern, um die Wahrscheinlichkeiten beizubehalten.
Genau da liegt dein Denkfehler: es gibt eine Möglichkeit, eine Dichtefunktion so zu verändern, dass sich an den Wahrscheinlichkeiten nichts ändert: wenn man sie in senkrechter Richtung verschiebt.
Dadurch, dass du ab x=6000 die Dichte der Exponentialverteilung abschneidest, geht der Fläche unter derselben ein Stück verloren. Diesen Fehler gilt es, durch Verschieben der verbliebenen Kurve (die momentan gar keine Dichte ist!) zu beheben, so dass die entstehende Funktion auf dem Definitionsbereich [0;6000] wieder eine Dichtefunktion ist.
Gruß, Diophant
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So,
> > Ich weiß nicht ich sitze da irgendwie noch nen bisschen
> > auf dem Schlauch, weil eigentlich darf ich ja f(z) nicht
> > ändern, um die Wahrscheinlichkeiten beizubehalten.
> Genau da liegt dein Denkfehler: es gibt eine Möglichkeit, eine Dichtefunktion so zu verändern, dass sich an den Wahrscheinlichkeiten nichts ändert: wenn man sie in senkrechter Richtung verschiebt.
> Dadurch, dass du ab x=6000 die Dichte der Exponentialverteilung abschneidest, geht der Fläche unter derselben ein Stück verloren. Diesen Fehler gilt es, durch Verschieben der verbliebenen Kurve (die momentan gar keine Dichte ist!) zu beheben, so dass die entstehende Funktion auf dem Definitionsbereich [0;6000] wieder eine Dichtefunktion ist.
Ich habe mir nun ausgerechnet, dass ich die Funktion um [mm] \lambda*e^{-1} [/mm] auf der y-Achse nach oben verschoben werden muss, um wieder auf eine Fläche von 1 unter der Dichtefunktion zu kommen. Also:
[mm]f(z)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } z > 6000 \\
\lambda * e^{-\lambda*z} + \lambda * e^{-1}, & \mbox{für } 0 < z \le 6000 \\
0, & \mbox{für } z \le 0 \end{cases}[/mm]
In diesem Fall mit [mm] \lambda [/mm] = [mm] \bruch{1}{6000}. [/mm] Sollte das so richtig sein, verstehe ich leider noch nicht, warum sich die Wahrscheinlichkeit nicht ändert. Als Beispiel war nach der Ursprünglichen Aufgabe die Wahrscheinlichkeit, dass eine Glühbirne maximal 3000 Stunden brennt G(3000) = [mm] \integral_{0}^{3000}{g(z) dz} \approx [/mm] 0,39 (In dem Fall ist g die alte Dichte) und nach der neuen Funktion F(3000) = [mm] \integral_{0}^{3000}{f(z) dz} \approx [/mm] 0,58.
Aber danke schon mal für die hilfreichen Antworten!
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Hallo,
da sind m.A. nach noch zwei Fehler drin: wie kommst du bei dem Summanden in der neuen Dichte auf den Vorfaktor [mm] \lambda? [/mm] Ich habe den nicht, sondern einfach 1/e. Könntest du das nochmal prüfen?
Und der nächste Fehler ist eigentlich ganz schnell geklärt: die Dichte der Exponentialverteulung ist 0 für x<0, ab x=0 ist die Exponentialfunktion zuständig, so dass natürlich auch bei der unteren Schranke des Integrals mit der netsprechenden Stammfunktion zu rechnen ist.
Das sollte die Probleme lösen.
Gruß, Diophant
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Ich glaube ich habe immer noch einen Denkfehler. Auf [mm] \lambda [/mm] war ich gekommen, da ich das mit Wolframalpha ausgerechnet habe (http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate%281%2F6000*e%5E-%281%2F6000*x%29%2Bz%2C0%2C6000%29%3D1) bei 1/e erhalte ich aber auch irgendwas über 2000 raus.
Beim zweiten Fehler ... ich dachte das hatte ich gemacht, denn [mm]P(Z \le 3000) = F(3000) = \integral_{-\infty}^{3000}{f(z) dz} = \integral_{-\infty}^{0}{f(z) dz} + \integral_{0}^{3000}{f(z) dz} = 0 + \integral_{0}^{3000}{f(z) dz}[/mm] für die Exponentialverteilung???
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Hallo,
ok, bei dem ersten Punkt habe ich mich verrechnet. Aber wenn du das Integral bei WA schon so eingegeben hast, dass da 1 herauskommt, weshalb ziehst du das dann wieder in Zweifel? 
Gruß, Diophant
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Wer weiß, vielleicht hab ich grundsätzlich was falsch verstanden :D
Aber den zweiten Fehler verstehe ich wie gesagt noch nicht ...
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Hallo,
> Aber den zweiten Fehler verstehe ich wie gesagt noch nicht
du hattest einfach die Definition der Dichte der Exponentialfunktion an der Stelle x=0 falsch abgeschrieben. Inwieweit sich das in deiner Rechnung ausgewirkt hat, kann ich nicht so ganz nachvollziehen, da du ja im Wesentlichen immer nur Ergebnisse angegeben hast.
Ist das mit der neuen Dichtefunktion dann jetzt klar?
Gruß, Diophant
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Ohje, ja ich weiß jetzt wo mein Fehler lag. Jetzt macht auch 1/e Sinn. Ich habe die Verschiebung vor dem Integrieren vorgenommen.
Dann passt das ganze auch für die Wahrscheinlichkeiten, da die Konstante ja wieder raus fällt, wenn ich [mm]F(b) - F(a) [/mm] rechne.
Vielen Dank nochmal für die Hilfe!
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