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Hallo Leute
Ich brauche da mal eure Hilfe zu einer Aufgabe.
Gegeben ist mir: In Österreich ereignet sich alle 7 Jahre ein Seilbahnunglück.
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich in der nächsten Woche ein derartiges Unglück ereignet?
Nach Lösung scheint das Ganze ziemlich einfach aus:
[mm] \lambda [/mm] = [mm] \bruch{1}{7 Jahre}
[/mm]
=> [mm] \lambda [/mm] * t = [mm] \bruch{1 Woche}{7 Jahre} [/mm] = 0.00275
Mein Problem ist folgendes:
Mir wurden 2 Formeln gegeben:
f(t) = [mm] \lambda [/mm] * [mm] e^{-\lambda *t}
[/mm]
F(t) = [mm] 1-e^{-\lambda *t}
[/mm]
Aber es wird weder mit klein f noch mit gross F was berechnet.... wieso denn das?
Ahja, vielleicht noch eine allg. Frage zu stetigen Verteilungen. Mir wurde da gesagt, dass man da eigentlich fast immer mit der kumultieren Funktion rechnet, also mit gross F... jetzt frage ich mich aber schon lange, für was denn diese Dichtefunktion gut sein soll, also das kleine f...mit dem wird ja gar nicht berechnet?
Bei den Diskreten war es ja noch so, wenn man genau etwas bestimmen wollte, konnte man dieses kleine f verwenden, aber bei den stetigen Zufallsvariablen sehe ich die Anwendung einfach nicht heraus... Kann mir da vielleicht noch jemand auf die Sprünge helfen? Zudem ist es ja bei den stetigen gar nicht möglich, etwas exakt bestimmen zu wollen.... aber für was braucht man diese?
Vielen Dank.
Liebe Grüsse
Nicole
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:15 Sa 18.12.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo Nicole,
es geht hier doch um statistische Größen, und da bezeichnet man mit f(t) die Verteilungsdichte und mit F(t) das dazugehörige Integral und das ist die Verteilungsfunktion. Das Ganze gilt übrigens nur für nichtnegative Variablen. Auch mit den Verteilungsdichten kann man schon eine ganze menge rechnen und wenn es später dann mal um die Verknüpfungen mehrerer Verteilungen geht, dann kann man diese Dichten sehr gut einsetzen. Die Fläche unter f(t) ist ein Maß für die Auftretenswahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses.
Eine weitere Sache hast Du schon selbst richtig erkannt. Bei einer stetigen Verteilung ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau ein Wert angenommen wird, gleich Null.
Viele Grüße,
Infinit
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Danke dir vielmals. Kann mir noch jemand was zu meiner Frage bzg. der Exponentialverteilung sagen?
Danke euch.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:29 Sa 18.12.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo Nicole,
da Du ja die Wahrscheinlichkeit ausrechnen willst, musst Du den Wert einfach in F(t) einsetzen und Du hast damit die Wahrscheinlichkeit berechnet. Wie ich schon sagte, gilt dies für t-Werte größer 0.
Ich schreibe Dir hier mal die Größen auf für die Dichte und die daraus resultierende Wahrscheinlichkeitsfunktion, beide sind über das Integral miteinander verbunden.
So sieht die Dichte aus:
[mm] f(x) = \begin{cases} 0, & \mbox{fuer } x < 0 \\
\lambda \cdot \exp^{- \lambda x}, & \mbox{fuer } 0 \leq x, 0 < \lambda \end{cases}[/mm]
und dies nun nach x integriert mit der unteren Grenze von 0, also
[mm] F(x) = \int_0^x f(x) \, dx [/mm],
das liefert
[mm] F(x) = \begin{cases} 0, & \mbox{fuer } x < 0 \\
1 - \exp^{- \lambda x}, & \mbox{fuer } 0 \leq x, 0 < \lambda \end{cases}[/mm]
Viele Grüße,
Infinit
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Hallo Infinit
Vorab erstmal herzlichen Dank für deine ausführlichen Erklärungen. Wie du bereits schon erwähnt hast, muss ich mit der F(t) Funktion rechnen. Das wollte ich ja eigentlich auch, musste dann aber bei meiner Aufgabe etwas feststellen...ich zeig dir mal mein Problem:
Aufgabe: In Österreich ereignet sich alle 7 Jahre ein Seilbahnunglück.
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich in der nächsten Woche ein derartiges Unglück ereignet?
Meine Überlegung war auch:
F(t) = $ [mm] 1-e^{-\lambda \cdot{}t} [/mm] $
F(t) = $ [mm] 1-e^{-\bruch{1}{364}*1} [/mm] $
Ok berechne ich dann F(t) komme ich auf: 0.002743483
Laut Lösung ist da ja nur geschrieben [mm] \lambda [/mm] * t = [mm] \bruch{1}{364} [/mm] = 0.002747253
Komischerweise komme ich da auf fast die gleichen Angaben. Aber mir ist es trotzdem ein Rätsel wie man auf die Lösung kommen soll. Mir wäre es klarer, wenn ich das Ganze wie ich im 1. Schritt zeigte in F(t) einsetzen könnte...
Was sehe ich denn da noch nicht richtig?
Ich danke dir.
Liebe Grüsse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:16 Mo 20.12.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo Nicole,
Dein Rechenweg ist schon okay. Lass Dich nicht davon irre machen, dass der Wert für [mm] \lambda t [/mm] fast mit dem Ergebnis übereinstimmt. Durch diesen Bruch sollte wohl nur gezeigt werden, dass man die Anzahl der Wochen in Beziehung zueinander setzen soll und keine Bruchteile von Jahren oder Tage oder Stunden.
Der Weg ist hoffentlich klar und das ist das Wichtige dabei.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:32 Di 21.12.2010 | | Autor: | Nicole1989 |
Vielen Dank.:)
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Hab da noch etwas gefunden, ist es also korrekt wenn ich sage:
f(x) = Die Dichtefunktion beschreibt die Verteilung von Stichprobenwerten der Zufallsvariable.
Also wenn ich jetzt auf der Skala x-Achse den Wert 2 habe und auf der y-Achse den Wert 1.5 ... was sagt mir das aus???
Irgend eine Häufigkeit?
F(x) = Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvarible einen Wert in einem Intervall [a,b] annimmt? Stimmt diese Aussage?
Ich danke dir.
Liebe Grüsse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:43 Sa 18.12.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo Nicole,
ein bisschen Wahrheit ist in Deiner Aussage schon, aber die Sache wird hoffentlich klarer, wenn Du den integralen Zusammenhang zwischen der Dichte und der Wahrscheinlichkeitsfunktion mal verinnerlicht hast.
Es gibt keine feste Regel, eine Dichtefunktion aufzustellen. Deren x-Wert hängt davon ab, wie die Zufallsvariable auf die reelle Achse abgebildet wird. Der Wert dieser Funktion muss positiv sein, sonst wäre es keine Dichte und das Integral über die Gesamtdichte muss den Wert 1 liefern, das sogenannte sichere Ereignis. Bei der Exponentialverteilung weiss man, wie diese aussieht, bei der Auswertung von Laborversuchen zum Beispiel muss man sich erst an eine geeignete Verteilungsdichte herantasten und nachschauen, ob man damit über die Runden kommt oder nicht. Das ist häufig eine recht mühsame Aufgabe und entsprechend viel Zeit muss man investieren. Darum musst Du Dich aber nicht kümmern, die Verteilung wird bei diesen Aufgaben eigentlich immer vorgegeben.
Wenn Du nun wissen willst, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, einen Wert in den Grenzen zwischen a und b zu erwischen, so integrierst Du mit diesen Grenzen über die Dichtefunktion bzw. setzt diese Werte in die Wahrscheinlichkeitsverteilung ein, denn
[mm] F(a < x \leq b) = \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) [/mm]
Hoffe, die Sache ist nun etwas klarer geworden.
Viele Grüße,
Infinit
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