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Hallo!
Habe eine (für Leute, die das verstehen) bestimmt total einfache Frage.
Ich habe eine Zufallsvariable X, sie ist exponentialverteilt. Wie ist dann [mm] \overline{X} [/mm] verteilt? Bzw. wie kann ich sowas ausrechnen. Auch für andere Verteilungen?
DANKE schonmal!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:54 Fr 22.05.2009 | | Autor: | Fulla |
Hallo bezauberndejeany,
was meinst du denn mit [mm] $\overline [/mm] X$? Ist das der Mittelwert? Oder der Erwartungswert?
Falls ja, hat der keine Verteilung, sondern ist eine Zahl.
Die ![[]](/images/popup.gif) Exponentialverteilung hat die W.dichte [mm] $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ ($x\ge [/mm] 0$).
Der Erwartungswert ist [mm] $E(X)=\int_0^\infty x*f(x)dx=\int_0^\infty x\lambda e^{-\lambda x}dx=\frac{1}{\lambda}$
[/mm]
Im Allgemeinen musst du von [mm] $-\infty$ [/mm] bis [mm] $\infty$ [/mm] integrieren. Die Exponentialverteilung ist aber 0 für $x<0$, darum wird hier nur von 0 bis [mm] $\infty$ [/mm] integriert.
Lieben Gruß,
Fulla
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:57 Fr 22.05.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
oder meinst du das Komplement, dass würde aber nur für Ereignisse Sinn machen und nicht für ZV's:
A:= X [mm] \in [/mm] [t, [mm] \infty[
[/mm]
und willst
P( [mm] \overline{A} [/mm] )
bei reellen ZV's ist dass halt dann einfach die Wkeit dass die ZV einen Wert im Intervall [0,t] hat.
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Sorry, ich meine den Mittelwert.
Beispielsweise ist bei der Normalverteilung
[mm] X~N(\mu,\delta^{2})
[/mm]
[mm] \overline{X}~N(\mu,\delta^{2}/n)
[/mm]
Also mit Delta meine ich Sigma, aber das Zeichen gibt es hier irgendwie nicht.
Und genauso möchte ich gerne wissen, wie [mm] \overline{X} [/mm] für ein exponentialverteiltes X verteilt ist.
Danke!!!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:57 Fr 22.05.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
wie meinst du dass?
meinst du dass du unabhängige ZV's [mm] X_1 [/mm] , ... , [mm] X_n [/mm] hast die alle [mm] N(\mu, \sigma^2) [/mm] verteilt sind und du willst wissen wie dann
[mm] \overline{X} [/mm] = [mm] \frac{X_1 + ... + X_n}{n}
[/mm]
verteilt ist ???????
gruß
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Ja, genau. Nur, dass ich das bei der Normalverteilung schon weiß.
Ich möchte wissen, wie [mm] \overline{X}=\bruch{X_{1}+...+X_{n}}{n} [/mm] verteilt ist, wenn [mm] \overline{X}_{i} [/mm] jeweils unabhängig exponentialverteilt sind.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:01 Fr 22.05.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
wenn alle [mm] X_i [/mm] unabhängig sind, dann musst du eben die verteilung von [mm] \underline{X} [/mm] = [mm] X_1 [/mm] + ... + [mm] X_n [/mm] durch Faltung berechnen und dann die von [mm] \overline{X}= \frac{\underline{X}}{n}
[/mm]
nochmal zur Normalverteilung:
sind alle [mm] X_i \quad N(\mu [/mm] , [mm] \sigma^2 [/mm] ) verteilt so ist
[mm] \underline{X} \quad [/mm] N(n [mm] \mu [/mm] , n [mm] \sigma^2) [/mm] verteilt
und [mm] \overline{X} \quad N(\mu, \sigma^2 [/mm] / n)
die Faltung von exponentialverteilten Zufallsvariablen ergibt eine Gamma-Verteilung mit folgender Dichte:
[mm]f(n)=\begin{cases} \frac{b^p}{\Gamma{p}}x^{p-1}e^{-bx}, & \mbox{für } x \ge \mbox{ 0} \\ 0, & \mbox{für } x < \mbox{ 0} \end{cases}[/mm]
jetzt musst halt noch schauen wie die Verteilung dann ist wenn die Summe noch durch n geteilt wird.
gruß
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