Exponentialverteilung < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:31 Fr 13.03.2015 | | Autor: | kadkev |
| Aufgabe | Seifenblasenaufgabe zum ZGS:
Ein Hersteller von Seifenlauge, die zum Erzeugen von Seifenblasen benutzt wird, verspricht eine zu erwartende Lebensdauer der mit seiner Lauge erzeugten Seifenblasen von 0,08 Minuten. Die Lebensdauer X einer solchen Blase sei
exponentialverteilt.
a) Diskutieren Sie das Für und Wider, hier die Exponentialverteilung anzunehmen.
Bestimmen Sie den Verteilungsparameter und Var(X)!
b) Ermitteln Sie die exakte Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Lebensdauer einer Seifenblase größer ist als 0,06 Minuten!
c) Approximieren Sie mit Hilfe der Normalverteilung die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die durchschnittliche Lebensdauer von 40 Seifenblasen größer ist als 0,06 Minuten! Geben Sie Rechenschaft über die Nebenbedingungen Ihres Ansatzes. Wo geht in Ihren Rechnungen die stochastische Unabhängigkeit ein, die der ZGS benötigt? Interpretieren Sie das Ergebnis von c.) indem Sie es mit dem Ergebnis von b.) vergleichen.
(d.) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 30 zufällig herausgegrif-fenen Seifenblasen mehr als 28 Seifenblasen älter als 0,06 Minuten werden?
(e.) In unseren bisherigen Rechnungen sind wir davon ausgegangen, dass
0,08 min den Erwartungswert der Lebensdauer der Seifenblasen angibt. Es könnte aber auch sein, dass der Hersteller sich die Arbeit vereinfacht hat und nur 1 bis 2 Blasen beobachtet hat. Dabei hat er für die einzelne Blase festgestellt
P(X 0,08) = 95%, wobei er sich 5% Beobachtungsunschärfe zugebilligt hat. Wie groß fällt dann der Erwartungswert für eine Population solcher Seifenblasen aus? Würde sich das dann auch noch mit unseren Beobachtungen decken. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Teilaufgabe a) und b) bekomme ich berechnet ab c) finde ich leider kein Ansatz. Mich verwirren die 40 Seifenblasen.
Meine Lösung:
a)
E(X) = 0,08 = 1/Lamda => Lamda= 12,5
Var (X) = 1/Lamda² => Var (X) = 0,0064
b)
P(X > 0,06) = 1 – P(X ≤ 0,06) = exp(-0,06*Lamda) = exp(-0,06 * 12,5) = exp(- 0,75)= 0,4724
Die Wahrscheinlichkeit für eine Lebensdauer größer 0,06 Minuten beträgt 0,4724 = 47,24%.
Kann mir einer BITTE BITTE ab c) helfen. Vielen Dank im Voraus.
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Hallo,
> Seifenblasenaufgabe zum ZGS:
> Ein Hersteller von Seifenlauge, die zum Erzeugen von
> Seifenblasen benutzt wird, verspricht eine zu erwartende
> Lebensdauer der mit seiner Lauge erzeugten Seifenblasen von
> 0,08 Minuten. Die Lebensdauer X einer solchen Blase sei
> exponentialverteilt.
>
> a) Diskutieren Sie das Für und Wider, hier die
> Exponentialverteilung anzunehmen.
> Bestimmen Sie den Verteilungsparameter und Var(X)!
>
> b) Ermitteln Sie die exakte Wahrscheinlichkeit dafür, dass
> die Lebensdauer einer Seifenblase größer ist als 0,06
> Minuten!
>
> c) Approximieren Sie mit Hilfe der Normalverteilung die
> Wahrscheinlichkeit dafür, dass die durchschnittliche
> Lebensdauer von 40 Seifenblasen größer ist als 0,06
> Minuten! Geben Sie Rechenschaft über die Nebenbedingungen
> Ihres Ansatzes. Wo geht in Ihren Rechnungen die
> stochastische Unabhängigkeit ein, die der ZGS benötigt?
> Interpretieren Sie das Ergebnis von c.) indem Sie es mit
> dem Ergebnis von b.) vergleichen.
>
> (d.) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 30
> zufällig herausgegrif-fenen Seifenblasen mehr als 28
> Seifenblasen älter als 0,06 Minuten werden?
>
> (e.) In unseren bisherigen Rechnungen sind wir davon
> ausgegangen, dass
> 0,08 min den Erwartungswert der Lebensdauer der
> Seifenblasen angibt. Es könnte aber auch sein, dass der
> Hersteller sich die Arbeit vereinfacht hat und nur 1 bis 2
> Blasen beobachtet hat. Dabei hat er für die einzelne Blase
> festgestellt
> P(X 0,08) = 95%, wobei er sich 5%
> Beobachtungsunschärfe zugebilligt hat. Wie groß fällt
> dann der Erwartungswert für eine Population solcher
> Seifenblasen aus? Würde sich das dann auch noch mit
> unseren Beobachtungen decken.
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> Teilaufgabe a) und b) bekomme ich berechnet ab c) finde
> ich leider kein Ansatz. Mich verwirren die 40 Seifenblasen.
> Meine Lösung:
> a)
> E(X) = 0,08 = 1/Lamda => Lamda= 12,5
> Var (X) = 1/Lamda² => Var (X) = 0,0064
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") alles richtig.
> b)
> P(X > 0,06) = 1 – P(X ≤ 0,06) = exp(-0,06*Lamda) =
> exp(-0,06 * 12,5) = exp(- 0,75)= 0,4724
> Die Wahrscheinlichkeit für eine Lebensdauer größer 0,06
> Minuten beträgt 0,4724 = 47,24%.
sieht auch gut aus.
> Kann mir einer BITTE BITTE ab c) helfen. Vielen Dank im
> Voraus.
Zu c):
Du beobachtest nun 40 Seifenblasen und erhältst dadurch beobachtete Lebensdauern [mm] $X_1,...,X_n \sim Exp(\lambda)$ [/mm] mit $n = 40$, [mm] $\lambda [/mm] = 12.5$.
In der Aufgabe geht es um die mittlere Lebensdauer dieser Seifenblasen, d.h. um den Mittelwert [mm] $\overline{X_n} [/mm] = [mm] \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$.
[/mm]
Es wird die Wahrscheinlichkeit gesucht, dass diese mittlere Lebensdauer größer als 0.06 ist, d.h.
$P( [mm] \overline{X_n} [/mm] > 0.06 )$.
Um das auszurechnen, sollst du den ZGS benutzen. Dafür musst du annehmen, dass die [mm] $X_i$ [/mm] unabhängig sind, d.h. dass die Seifenblasen Lebensdauern haben, die unabhängig voneinander sind (man könnte sagen: Sie müssen unabhängig voneinander zerplatzen).
Der ZGS sagt:
[mm] $\sqrt{n}\frac{\overline{X_n} - E[X_1]}{\sqrt{Var(X_1)}} \approx [/mm] N(0,1)$.
Damit kannst du die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P( [mm] \overline{X_n} [/mm] > 0.06 )$ berechnen.
Zu d):
Du kannst diese Aufgabe völlig losgelöst von der Exponentialverteilung betrachten.
Du hast in b) schon die Wahrscheinlichkeit $p = 0.47$ ausgerechnet, dass eine Seifenblase länger als 0.06 Minuten lebt.
Nimm nun wieder an, dass die beobachteten 30 Seifenblasen unabhängig voneinander zerplatzen.
Dann kannst du die Anzahl der Seifenblasen, die länger als 0.06 Minuten leben, als Binomialverteilung mit $n = 30$ und Erfolgswahrscheinlichkeit $p = 0.47$ auffassen.
Gesucht ist dann $P( Binomial(n,p) [mm] \ge [/mm] 28 )$.
Zu e): Bitte schreibe nochmal, was bei P(X 0,08) = 95% das ""-Zeichen ist.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:05 Sa 14.03.2015 | | Autor: | kadkev |
Hallo Stefan,
vielen Dank für eine schnelle Hilfe.
Hier die Ergänzung für e) P(X "größer gleich" 0,08) = 95%
Gruß Kadir
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Hallo,
> Hallo Stefan,
> vielen Dank für eine schnelle Hilfe.
Gern geschehen.
> Hier die Ergänzung für e) P(X "größer gleich" 0,08) =
> 95%
Naja, wenn man annimmt, dass $X$ immer noch exponentialverteilt sein soll, kannst du aus obiger Gleichung wieder ein [mm] $\lambda$ [/mm] bestimmen:
[mm] $\int_{0.08}^{\infty} \lambda e^{-\lambda x} [/mm] dx = 0.95$
Dann kannst du die Ergebnisse von den vorherigen Aufgaben alle auch mit diesem [mm] $\lambda$ [/mm] ausrechnen, vielleicht passiert irgendwas spektakuläres in Hinsicht auf b),c),d).
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 Mo 16.03.2015 | | Autor: | kadkev |
Hallo Stefan,
vielen Dank für deine Hilfe. Jedoch bringen mich die Formeln leider auch nicht weiter. Besteht die Möglichkeit, dass du die Aufgabe c) d) e) für mich als Beispiel ausrechnen kannst, das wäre echt Super.
Vielen Vielen Dank.
Gruß Kadir
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Hallo,
> vielen Dank für deine Hilfe. Jedoch bringen mich die
> Formeln leider auch nicht weiter.
Das ist eine sehr pauschale Aussage. Wieso bringen dich die Formeln nicht weiter, das waren doch schon die halben Lösungen.
Zu c):
Ziel ist es, in der gesuchten Wahrscheinlichkeit mittels Umformung die Struktur des ZGS zu erhalten:
[mm] $P(\overline{X_n} [/mm] > 0.06) = [mm] P\left(\frac{\sqrt{n}(\overline{X_n} - E[X_1])}{\sqrt{Var(X_1)}} > \frac{\sqrt{n}(0.06 - E[X_1])}{\sqrt{Var(X_1)}}\right) \approx P\left(N(0,1) > \frac{\sqrt{n}(0.06 - E[X_1])}{\sqrt{Var(X_1)}}\right) [/mm] = 1 - [mm] \Phi\left(\frac{\sqrt{n}(0.06 - E[X_1])}{\sqrt{Var(X_1)}}\right)$,
[/mm]
wobei [mm] $\Phi$ [/mm] die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung, [mm] $E[X_1] [/mm] = [mm] 1/\lambda$, Var(X_1) [/mm] = [mm] 1/(\lambda^2)$, $\lambda [/mm] = 12.5$, $n = 40$.
Damit kannst du alles ausrechnen...
Zu d):
Es steht ja schon da: Gesucht ist mit $n = 30$, $p = 0.47$:
$P(Binomial(n,p) [mm] \ge [/mm] 28) = [mm] \sum_{k=28}^{30}\vektor{30\\k}0.47^k 0.53^{30-k}$
[/mm]
(einfach die Dichte einer Binomialverteilung eingesetzt!). Das kann man nun auch ausrechnen.
Zu e):
Bestimme, wie ich geschrieben habe, [mm] $\lambda$ [/mm] aus der Gleichung
$0.95 = [mm] \int_{0.08}^{\infty}\lambda e^{-\lambda x} [/mm] dx = [mm] e^{-\lambda 0.08}$,
[/mm]
d.h. [mm] $\lambda [/mm] = [mm] -\frac{\ln(0.95)}{0.08} [/mm] = 0.64$
Viele Grüße,
Stefan
Viele Grüße,
Stefan
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