Exponentialreihe Ungleichung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] $s_n:=\summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k!}$ [/mm] und [mm] $e=\limes_{n\rightarrow\infty}s_n$
[/mm]
(a) Zeige die Ungleichung [mm] $|e-s_n|\le\bruch{1}{n*n!} (n\in\IN)$ [/mm] mit Hilfe einer geeigneten geomterischen Reihe.
(b)Bestimme mit Hilfe von (a) eine Zahl [mm] $N\in\IN$, [/mm] für die [mm] $|e-s_N|\le 0,5*10^{-4}$ [/mm] gilt und gib den Wert von [mm] $s_N$ [/mm] an.
(c)Zeigen Sie, dass e irrational ist. (Hinweis: [mm] $e-s_n|$ [/mm] betrachten) |
Hallo liebes Forum!
Wieder einmal plagt mich Analysis.
Zu a) hab ich mir folgendes gedacht:
Die geometrische Reihe ist ja: [mm] $\summe_{n=0}^{\infty}z^n$ [/mm] wobei $|z|<1$.
[mm] $|e-s_n|=|\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k!}-\summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k!}|=|\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}-\summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k!}|$ [/mm] soweit stimmt hoffentlich meine Überlegungen... Dann woltle ich versuchen es nach oben abzuschätzen um dabei auf eine geometrische Reihe schließen zu könne, da [mm] $\bruch{1}{n*n!}$ [/mm] so "ähnlich" aussieht wie [mm] $\bruch{1}{1-z}$.
[/mm]
[mm] $|\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}-\summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k!}|\le\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}\le\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{1}{k!})^k=\bruch{1}{1-\bruch{1}{k!}}$
[/mm]
Hmm ja... Irgendwie kommt mir das alles nicht so ganz richtig vor, vielleicht mag mir ja jemand einen kleinen Denkanstoß geben.
Die (b) werde ich versuchen sobald ich die (a) richtig verstanden habe, hoffe ich bekomme es dann hin.
Den Beweis für die (c) habe ich bereits in einem Buch gefunden und verstehe ich auch, habe es nur der Vollständigkeit halber dazu geschrieben.
Ich danke allen, die bereit sind mir zu helfen für ihre Mühe.
Lg Angelnoir
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:35 Di 04.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm]s_n:=\summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k!}[/mm] und
> [mm]e=\limes_{n\rightarrow\infty}s_n[/mm]
> (a) Zeige die Ungleichung [mm]|e-s_n|\le\bruch{1}{n*n!} (n\in\IN)[/mm]
> mit Hilfe einer geeigneten geomterischen Reihe.
> (b)Bestimme mit Hilfe von (a) eine Zahl [mm]N\in\IN[/mm], für die
> [mm]|e-s_N|\le 0,5*10^{-4}[/mm] gilt und gib den Wert von [mm]s_N[/mm] an.
> (c)Zeigen Sie, dass e irrational ist. (Hinweis: [mm]e-s_n|[/mm]
> betrachten)
>
> Hallo liebes Forum!
> Wieder einmal plagt mich Analysis.
> Zu a) hab ich mir folgendes gedacht:
> Die geometrische Reihe ist ja: [mm]\summe_{n=0}^{\infty}z^n[/mm]
> wobei [mm]|z|<1[/mm].
>
> [mm]|e-s_n|=|\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k!}-\summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k!}|=|\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}-\summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k!}|[/mm]
> soweit stimmt hoffentlich meine Überlegungen...
da sind einige Fehler:
1. Du solltest nicht einmal die gleiche Variable [mm] $n\,$ [/mm] als fest und zugleich bei [mm] $\lim_{n \to \infty}$ [/mm] als variabel hernemmen. Ich halte nun [mm] $n\,$ [/mm] fest:
[mm] $$|e-s_n|=|\limes_{p\rightarrow\infty}\summe_{k=0}^{p}\bruch{1}{k!}-\summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k!}|=|\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}-\summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k!}|\,,$$
[/mm]
und eine der beiden letzten Gleichheiten kann man sich sparen, denn so ist [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k$ [/mm] gerade definiert. Ich würde so ansetzen:
Seien $n,N [mm] \in \IN_0$ [/mm] und $N [mm] \ge [/mm] n$ und [mm] $n\,$ [/mm] fest. Weil obige Folge [mm] $(s_n)_n$ [/mm] offenbar monoton wachsend gegen [mm] $e\,$ [/mm] ist, ist [mm] $|e-s_m|=e-s_m$ [/mm] für jedes $m [mm] \in \IN_0\,.$ [/mm] Denn es gilt für $N [mm] \ge [/mm] n$
[mm] $$|s_N [/mm] - [mm] s_n|=s_N-s_n=\sum_{k=n+1}^N \frac{1}{k!}\,.$$
[/mm]
Insbesondere gilt bei $N [mm] \to \infty$ [/mm] dann
[mm] $$|e-s_n|=e-s_n =\sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{k!}\,.$$
[/mm]
Aber soweit kann man auch Deine Überlegungen noch so stehen lassen. Nur: Nun machst Du mehrere Fehler
> Dann
> woltle ich versuchen es nach oben abzuschätzen um dabei
> auf eine geometrische Reihe schließen zu könne, da
> [mm]\bruch{1}{n*n!}[/mm] so "ähnlich" aussieht wie [mm]\bruch{1}{1-z}[/mm].
>
> [mm]|\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}-\summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k!}|\le\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{k!}[/mm]
Die letzte Summe/Reihe ist gerade wieder [mm] $=e\,,$ [/mm] welches nicht von [mm] $n\,$ [/mm] abhängt. Wie willst Du da eine [mm] $n\,$-Abhängigkeit [/mm] reinbringen? Die Abschätzung ist also so banal, dass sie einfach zu grob ist!
[mm]\le\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{1}{k!})^k[/mm]
Hier steht schlichtweg Unsinn. Da sich die Summanden $1/k!$ alle in $[0,1]$ befinden, werden sie sich verkleinern, wenn man sie mit einer natürlichen Zahl potenziert (Bsp.: [mm] $(1/2)^2=1/4 [/mm] < [mm] 1/2\,.$). [/mm] Vor der letzten Reihe müßte also ein [mm] $\ge$ [/mm] anstatt des [mm] $\le$ [/mm] stehen, womit Deine ganze Abschätzung danebengeht.
Aber auch hier
> [mm]=\bruch{1}{1-\bruch{1}{k!}}[/mm]
darfst Du das nicht so schreiben. Der Grund:
Bei [mm] $\summe_{n=0}^{\infty}z^n=1/(1-z)$ [/mm] ist das [mm] $z\,$ [/mm] mit $|z| < [mm] 1\,$ [/mm] FEST, und nicht vom Laufindex der Reihe abhängig. Bei [mm] $\sum_{k=...}^\infty (1/k!)^k$ [/mm] ändert sich [mm] $z_k=1/k!$ [/mm] in Abhängigkeit vom Laufindex [mm] $k\,.$ [/mm] Du kannst daher die obige Formel so nicht anwenden. (Insbesondere macht der entstehende Ausdruck $1/(1-(1/k!))$ auch keinen Sinn, weil der Laufindex [mm] $k\,$ [/mm] auf der anderen Seite der Gleichung steht und sich dort auf das Summenzeichen bezieht!)
> Hmm ja... Irgendwie kommt mir das alles nicht so ganz
> richtig vor, vielleicht mag mir ja jemand einen kleinen
> Denkanstoß geben.
> Die (b) werde ich versuchen sobald ich die (a) richtig
> verstanden habe, hoffe ich bekomme es dann hin.
> Den Beweis für die (c) habe ich bereits in einem Buch
> gefunden und verstehe ich auch, habe es nur der
> Vollständigkeit halber dazu geschrieben.
>
> Ich danke allen, die bereit sind mir zu helfen für ihre
> Mühe.
> Lg Angelnoir
Schauen wir nochmal nach oben an die Stelle, wo wir [mm] $\sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{k!}$ [/mm] stehen haben. Dieses Restglied der Reihe ist ja nach oben abzuschätzen.
Ich selber sehe das nun auch nicht, vll. findest Du aber ![[]](/images/popup.gif) hier im Beweis zu Satz 7.4 etwas. Wenn Du eine Abschätzung für [mm] $e\,$ [/mm] hättest, könntest Du mithilfe dieses Beweises jedenfalls [mm] $s_n$ [/mm] nach unten abschätzen und durch Kombination der beiden Abschätzungen vll. zum gewünschten Ziel gelangen. Aber da heißt es nun erstmal: Probieren geht über studieren ^^
Gruß,
Marcel
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