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| Aufgabe | | Zeigen Sie: für alle x [mm] \in \IR [/mm] gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{x}{n})^n=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{x^k}{k!} [/mm] |
Hallo zusammen,
Wir benutzen zuerst den binomischen Lehrsatz:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{x}{n})^n= \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=0}{n}\bruch{n!}{k!(n-k)!}*\bruch{x^k}{n^k}
[/mm]
Wäre nun eine Induktion über x sinnvoll?
Viele Grüße,
Anil
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:42 So 08.05.2016 | | Autor: | chrisno |
Nein, denn x ist eine reelle Zahl.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:16 Mo 09.05.2016 | | Autor: | fred97 |
Dass Induktion nach x nichts sinnvolles ist, hat man Dir schon gesagt.
Es ist schwer Dir zu helfen, denn ich bin nicht im Bilde, was Ihr verwenden dürft. Ein Vorschlag, der Differentialrechnung benutzt:
Setze für t>-1: f(x)=ln(1+t).
Für x=0 ist die Sache klar. Ist nun x [mm] \in \IR [/mm] und [mm] x\ne [/mm] 0, so wähle N [mm] \in \IN [/mm] so, dass
[mm] \bruch{x}{n}>-1
[/mm]
ist für n>N.
Im Folgenden sei stets n>N.
Zeige:
[mm] ln(1+\bruch{x}{n})^n=x*\bruch{f(\bruch{x}{n})-f(0)}{\bruch{x}{n}-0}.
[/mm]
Somit: $ [mm] ln(1+\bruch{x}{n})^n \to [/mm] x*f'(0)=x$ für n [mm] \to \infty.
[/mm]
Jetzt Du.
FRED
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Fred, das dürfen wir leider nicht benutzen..
Wäre denn folgendes sinnvoller:
nach Anwendung des binomischen Lehrsatzes gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\summe_{k=0}^{n}\bruch{n!}{k!(n-k!)}*\bruch{x^k}{k!}) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n*n*(n-1)*(n-2)*...*1}{k!*(n-1)*(n-2)*...*1}*\bruch{x^k}{n^k} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{x^k}{k!}*\bruch{1}{n^ (k-1)} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{infty}\bruch{x^k}{k!}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:35 Mo 09.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Fred, das dürfen wir leider nicht benutzen..
>
> Wäre denn folgendes sinnvoller:
>
> nach Anwendung des binomischen Lehrsatzes gilt:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\summe_{k=0}^{n}\bruch{n!}{k!(n-k!)}*\bruch{x^k}{k!})[/mm]
> =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n*n*(n-1)*(n-2)*...*1}{k!*(n-1)*(n-2)*...*1}*\bruch{x^k}{n^k}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{x^k}{k!}*\bruch{1}{n^ (k-1)}[/mm]
> = [mm]\summe_{k=0}^{infty}\bruch{x^k}{k!}[/mm]
Nach dem erste "=" fehlt [mm] \sum, [/mm] das zweite "=" ist völlig falsch und das dritte "=" ????
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:08 Mo 09.05.2016 | | Autor: | Jule2 |
Hi,
wie Fred ja schon sagte hast du nicht sauber gearbeitet, allerdings ist der gewählte Ansatz Zielführend wenn du es richtig aufschreibst.
LG
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