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| Aufgabe | Berechnen Sie zur Matrix
[mm] \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
2 & -1
\end{pmatrix}
[/mm]
die Exponentialmatrix und lösen Sie mit Hilfe dieser Exponentialmatrix das Anfangsertproblem
[mm] \vec y'=A\vecy, \vec y(0)=(1,-1)^T
[/mm]
neben dem ersten Vektorpfeil ist ein ' also $y'$. |
Hi
Die Eigenwerte sind
[mm] $\lambda_1=-\sqrt{5}$ [/mm] und [mm] $\lambda_2=\sqrt{5}$
[/mm]
Die Eigenvektoren:
[mm] EV_1: [/mm]
[mm] \begin{pmatrix}
\frac{1}{2}(1-\sqrt{5}) \\
1
\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] EV_2:
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix}
\frac{1}{2}(1+\sqrt{5}) \\
1
\end{pmatrix}
[/mm]
nun:
[mm] \begin{pmatrix}
\frac{1}{2}(-\sqrt{5}) & \frac{1}{2}(\sqrt{5}) \\
1 & 1
\end{pmatrix}*
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix}
-\sqrt{5} & 0\\
0 & \sqrt{5}
\end{pmatrix}*
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix}
\frac{1}{2}(-\sqrt{5}) & \frac{1}{2}(\sqrt{5}) \\
1 & 1
\end{pmatrix}^{-1}
[/mm]
ist das bis hierhin richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:53 Mo 07.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie zur Matrix
> [mm]\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
2 & -1
\end{pmatrix}[/mm]
> die Exponentialmatrix und
> lösen Sie mit Hilfe dieser Exponentialmatrix das
> Anfangsertproblem
> [mm] \vec y'=A\vecy, \vec y(0)=(1,-1)^T[/mm]
>
> neben dem ersten Vektorpfeil ist ein ' also [mm]y'[/mm].
> Hi
> Die Eigenwerte sind
> [mm]\lambda_1=-\sqrt{5}[/mm] und [mm]\lambda_2=\sqrt{5}[/mm]
>
> Die Eigenvektoren:
>
> [mm]EV_1:[/mm]
> [mm]\begin{pmatrix}
\frac{1}{2}(1-\sqrt{5}) \\
1
\end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]EV_2:[/mm]
>
> [mm]\begin{pmatrix}
\frac{1}{2}(1+\sqrt{5}) \\
1
\end{pmatrix}[/mm]
Soweit ist das O.K.
>
> nun:
>
> [mm]\begin{pmatrix}
\frac{1}{2}(-\sqrt{5}) & \frac{1}{2}(\sqrt{5}) \\
1 & 1
\end{pmatrix}*[/mm]
>
> [mm]\begin{pmatrix}
-\sqrt{5} & 0\\
0 & \sqrt{5}
\end{pmatrix}*[/mm]
>
> [mm]\begin{pmatrix}
\frac{1}{2}(-\sqrt{5}) & \frac{1}{2}(\sqrt{5}) \\
1 & 1
\end{pmatrix}^{-1}[/mm]
>
> ist das bis hierhin richtig?
Keoine Ahnung, denn mir ist nicht klar, was Du da treibst.
laut Aufgabenstellung sollst Du [mm] e^{xA} [/mm] berechnen.
Dazu zeige:
[mm] $A^{2n}=5^nE$
[/mm]
und
[mm] $A^{2n+1}=5^nA$
[/mm]
FRED
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hier ist ein Link:
http://www.millersville.edu/~bikenaga/linear-algebra/matrix-exponential/matrix-exponential.html
da ist in der Mitte ein Beispiel mit einer 2x2 Matrix
[mm] \begin{pmatrix}
3 & 5 \\
1 & -1
\end{pmatrix}
[/mm]
ich habe mir dieses Beispiel angeschaut...
deswegen habe ich das oben so gemacht..
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mi 09.12.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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