Exponentialgleichungen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:08 So 18.05.2008 | | Autor: | sonyach |
| Aufgabe | | [mm] 2^{x-2}=2^{x+1}-14 [/mm] |
Hallo,
hier mein Lösungsweg:
wenn ich umforme bekomme ich:
[mm] 2^{x-2}-2^{x+1}=-14
[/mm]
Da die Summe nicht kleiner 0 werden kann hat die Aufgabe keine Lösung oder liege ich da ganz falsch?
Grüße Sonya
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:25 So 18.05.2008 | | Autor: | CPH |
Hallo Sonya
> [mm]2^{x-2}=2^{x+1}-14[/mm]
> Hallo,
>
> hier mein Lösungsweg:
>
> wenn ich umforme bekomme ich:
>
> [mm]2^{x-2}-2^{x+1}=-14[/mm]
>
> Da die Summe
Ich sehe dort keine Summe nur eine Differenz und die kann sehr wohl kleiner als null werden
>nicht kleiner 0 werden kann hat die Aufgabe
> keine Lösung oder liege ich da ganz falsch?
Unser ziel ist es das x zu isolieren, damit wir das können müssen wir es aus dem Exponenten holen, das machen wir mit einem logarithmus. damit wir den Anwenden dürfen, darf auf beiden Seiten der Gleichung keine Negative zahl mehr stehen. Daher formen wir um
Deine Umformung bringt uns schon weiter:
$ [mm] 2^{x-2}=2^{x+1}-14 [/mm] $
[mm] \gwd 2^{x-2} [/mm] - [mm] 2^{x+1} [/mm] = -14
[mm] \gwd 2^{x-2} (1-2^3) [/mm] = -14
Denn (x+1) - (x-2) = 3 und einfach [mm] 2^{x-2} [/mm] ausklammern.
jetzt durch [mm] (1-2^3) [/mm] = -7 teilen ( das darfst du weil [mm] (1-2^3) [/mm] nicht null ist sondern = -7)
damit kommt folgendes raus:
[mm] \gdw 2^{x-2} [/mm] = 2
dass darfts du jetzt logarithmieren (welchen logarithmus du nimmst bleibt dir überlassen ich nehme den zur Basis 10) mit logarithmengesetzen folgt dann:
[mm] \gdw [/mm] (x-2) log(2) = log(2)
nun durch log (2) teilen, dass ist sicherlich nicht null.
[mm] \gdw [/mm] x-2 = 1
mit 2 addieren damit folgt das Ergebnis.
[mm] \gdw [/mm] x=3
Dudarfst nur nie den Logatrithmus aus einer negativen Zahl ziehen! deswegen die längliche Rechnung.
Probe:
$ [mm] 2^{3-2}=2^{3+1}-14 [/mm] $
[mm] \gdw [/mm] 2= [mm] 2^4-14
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 2= 16-14
also
2=2 wahr. lösung richtig.
weil der Logarithmus umkehrbar ist also es genau eine Umkehrfunktion gibt ist dieses Ergebnis (x=3) auch das Einzige Ergebnis.
|
|
|
|
