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| Aufgabe | Gegeben sind Funktionen [mm]f_a[/mm] durch [mm]y=f_{a}(x)=e^{x-a}-3, x \in \IR, a\in\IR[/mm].
Ihre Graphen werden mit [mm]G_a[/mm] bezeichnet.
a) Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen [mm]G_a[/mm] mit den Koordinatenachsen.
Untersuchen Sie die Funktion [mm]f_a[/mm] auf Monotonie, auf die Existenz von lokalen Extremstellen sowie auf ihr Verhalten für [mm]x \to \pm \infty[/mm] |
Hallo erstmal,
also ich schreib hier zum ersten mal und hoffe, dass ich das jetzt einigermaßen hinbekommen habe.
Da ich von Exponentialfunktionen überhaupt keine Ahnung habe, wollt ich gleich mal beim Urschleim nachfragen.
Schnittpunkt mit X-Achse:
[mm]f(x)=0
3=e^{x-a} [/mm]
dann muss ich doch logarithmieren
[mm]lg3=lge^{x-a}[/mm]
ab dann habe ich keine Ahnung, was man damit macht, da ich diese Logarithmengesetze nicht verstehe, muss ich jetzt also:
[mm]lg3=x-a lge[/mm]
[mm]x-a=\bruch{lg3}{lge}[/mm]
oder ist das vollkommen falsch.
Schnittpunkt mit der y-Achse:
[mm]f_{a}(0)=e^{0-a}-3[/mm]
[mm]y=\bruch{1}{e^{a}}-3[/mm]
Kann ich dann noch was umformen, oder muss das so stehen bleiben, oder ist das auch völlig falsch?
Bei der Ableitung für die lokalen Extremstellen habe ich:
[mm]e^{x-a}[/mm]
ist das korrekt?
Da es sich aber vermutlich um eine Abituraufgabe handelt, kann sie bereits woanders gestellt worden sein, von mir jedenfalls nicht.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Aufgabe | | Untersuchen Sie die Funktion [mm]f_a[/mm] auf Monotonie, auf die Existenz von lokalen Extrestellen sowie ihr Verhalten für [mm]x\to \infty[/mm]. |
Vielen Dank erstmal,
hätte nicht gedacht, dass da irgendwas richtig ist von meinem Ansatz.
Wann kann ich eigentlich den natürlichen Logarithmus statt dem dekadischen benutzen?
Wenn ich jetzt die lokale Extremstelle versuche auszurechnen, müsste ich praktisch die 0 logarithmieren, da dies aber nicht definiert ist, gibt es auch keine Extremstelle. Ist das richtig?
[mm]ln(0)=ln(e^{x-a})[/mm]
[mm](x-a)=\bruch{ln(0)}{ln(e)}[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:52 Fr 17.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo danse-macabre!
> Wann kann ich eigentlich den natürlichen Logarithmus statt dem
> dekadischen benutzen?
Wenn Du eine Gleichung logarithmierst, um z.B. nach einem Exponenten (einer Hochzahl) auflösen möchtest, ist es egal, welchen Logarithmus Du wählst.
Es ist aber sinnvoll a.) einen Loagrithmus zu wählen, der auf Deinem Taschenrechner vertreten ist und b.) bietet sich bei e-Funktionen stets der natürliche Logarithmus an. Schließlich ist der [mm] $\ln(...)$ [/mm] die exakte Umkehrfunktion der e-Funktion.
> Wenn ich jetzt die lokale Extremstelle versuche auszurechnen, müsste
> ich praktisch die 0 logarithmieren, da dies aber nicht definiert ist,
> gibt es auch keine Extremstelle. Ist das richtig?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Richtig! Grundsätzlich solltest Du Dir merken, dass die e-Funktion mit reellen Argumenten immer positive Werte erzeugt: [mm] $e^x [/mm] \ > \ 0 \ \ \ \ [mm] \forall [/mm] \ \ x \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IR$
[/mm]
> [mm]ln(0)=ln(e^{x-a})[/mm]
> [mm](x-a)=\bruch{ln(0)}{ln(e)}[/mm]
Im Prinzip hast Du hier richtig gerechnet. Allerdings hättest Du nach der ersten Zeile auch gleich abbrechen können, da der Logarithmus nur für positive Werte Definiert ist, also auch nicht für $x \ = \ 0$ .
Gruß
Loddar
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| Aufgabe | | Die Tangente an den Graphen [mm]G_1[/mm] im Punkt [mm]P(0 | [mm] f_1(0))[/mm) [/mm] und die Koordinatenachen schließen eine Fläche F1 vollständig ein. Der Graph G1 und die Koordinatenachsen begrenzen eine Fläche F2 vollständig. Berechnen Sie das Verhältnis der Inhalte der Fläche F1 und F2. |
Hallo,
habe ich schon mal erwähnt, dass Tangenten mein größtes Hassthema, neben Stochastik ist?
Jedenfalls komme ich bei der Aufgabe nicht weit, weil ich schon die Tangentengleichung nicht aufstellen kann.
[mm]t: y=mx+n[/mm]
Da die Tangente durch den Ursprung geht, ist n=0 (selbst das musste ich nachschlagen *soifz*)
[mm]m=f'(x)=e^{x-a}[/mm]
[mm]y=e^{x-a}x[/mm]
Stimmt das erstmal überhaupt?
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Ja/Nein
Also ich versteh die Aufgabe so:
Berechne zwei Flächen einmal
F1 (Dreieck) der Tangente an die Funktion $ f(x) = e^(x-1) - 3 $ mit den Koordinatenachsen
F2 die Fläche unter dem Grafen.
Für die Tangente musst du die Steigung an der Stelle x = 0 berechnen da war der Ansatz mit f'(x) = m schon richtig. Nur die Tangente geht nicht durch den Ursprung deshalb musst du das n noch bestimmen.
Weiter unten gibts die Lösung.
Tangente:
$ y = m*x + b $
$ f(0) = e^(-1) - 3 = [mm] \bruch{1}{e} [/mm] - 3$
$ m = f'(0) = e^(-1) = [mm] \bruch{1}{e} [/mm] $
$ y = [mm] \bruch{1}{e} [/mm] * x + b $
eingesetzt:
$ f(0) = [mm] \bruch{1}{e} [/mm] * 0 + b $ folgt: $ f(0) = b = [mm] \bruch{1}{e} [/mm] - 3 $
Tangentengleichung: $ y = [mm] \bruch{1}{e} [/mm] x + [mm] \bruch{1}{e} [/mm] - 3 $
Nullstelle:
$ 0 = [mm] \bruch{1}{e} [/mm] x + [mm] \bruch{1}{e} [/mm] - 3 $
$ 3*e = x+1 $
$ 3e - 1 = x [mm] \approx [/mm] 7,1548$
$ F1 = [mm] \bruch{(3e - 1)*(\bruch{1}{e} - 3)}{2} [/mm] = [mm] \bruch{2+3e-9e^2}{2e} \approx [/mm] -10,36 $
Nullstellen von f
$ 0 = e^(x-1) - 3 $
$ 3e = [mm] e^x [/mm] $
$ x = ln(3e) = ln(3) + 1 $
$ F2 = [mm] \integral_{0}^{ln(3) + 1 }{e^(x-1) - 3 dx} [/mm] $
$ [ e^(x-1) - 3x ] $
$ F2 = (e^( ln(3) + 1-1) - 3 * (ln(3) + 1)) - e^(-1) $
$ F2 = e^( ln(3)) - 3ln(3) - 3 - e^(-1) $
$ F2 = -3ln(3) - [mm] \bruch{1}{e} \approx [/mm] -3,66 $
[mm] $\bruch{F1}{F2} [/mm] = [mm] \bruch{- 3ln(3) - \bruch{1}{e}}{ \bruch{2+3e-9e^2}{2e}} [/mm] $
$ [mm] \bruch{F1}{F2} [/mm] = [mm] \bruch{-6e* ln(3) - 2}{2+3e-9e^2} \approx \bruch{-19,92}{-56,35} \approx [/mm] 0,3535 $
Alle angaben ohne Gewähr 
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
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