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Gegeben ist die Funktion f(x)=exp(gx) mit g,x [mm] \in\IR [/mm] ,welche als Potenzreihe dargestellt werden soll.
Zwar wurde die Aufgabe vorgerechnet, jedoch verstehe ich diese im Nachhinein nicht mehr ganz.
Folgende Schritte wurden vollzogen: Es wurde eine Fallunterscheidung durchgeführt, sprich was passiert, wenn g größer,kleiner oder gleich 0 ist? Meine erste Frage hier: Wieso wird die Fallunterscheidung nur bei g und nicht bei x vollzogen?
Ich weiß, dass [mm] exp(x)=\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x^{k}}{k!} [/mm] gilt.
Außer dem Schritt, dass nur für das "g" eine Fallunterscheidung durchgeführt wird, verstehe ich die beiden Fälle, wo g=0 bzw. g>0 gilt. Die innere Funktion gx wird einfach in den Zähler gezogen, so dass dann die Fälle betrachtet werden können und je nachdem welcher Fall betrachtet wird, wird die Funktion dementsprechend geändert.
Für den Fall g<0 habe ich noch Verständnisprobleme.
Wir erhalten für g<0:
[mm] exp(gx)=\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(gx)^{k}}{k!}
[/mm]
Nach diesem Schritt wird g=-m ersetzt. Wieso? Möchte man lediglich g durch eine andere Variable ersetzen, um das Minuszeichen in die Gleichung einzubringen oder hat es einen anderen Grund?
Wie sieht es mit einer anderen Funktion aus. Was passiert wenn ich exp(hx+10) habe? Würde ich, wenn ich dieses als Reihe darstellen würde, wie folgt darstellen? :
[mm] exp(hx+10)=\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(hx+10)^{k}}{k!}
[/mm]
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:20 Do 30.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben ist die Funktion f(x)=exp(gx) mit g,x [mm]\in\IR[/mm]
> ,welche als Potenzreihe dargestellt werden soll.
>
> Zwar wurde die Aufgabe vorgerechnet, jedoch verstehe ich
> diese im Nachhinein nicht mehr ganz.
>
> Folgende Schritte wurden vollzogen: Es wurde eine
> Fallunterscheidung durchgeführt, sprich was passiert, wenn
> g größer,kleiner oder gleich 0 ist? Meine erste Frage
> hier: Wieso wird die Fallunterscheidung nur bei g und nicht
> bei x vollzogen?
Ich bin kein Hellseher, also frag den , der es gemacht hat.
Aus Deinen bisherigen Erzählungen sehe ich noch keinen Grund für eine Fallunterscheidung.
Für jedes g [mm] \in \IR [/mm] ist
$ [mm] exp(gx)=\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(gx)^{k}}{k!} [/mm] $.
>
> Ich weiß, dass [mm]exp(x)=\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x^{k}}{k!}[/mm]
> gilt.
>
> Außer dem Schritt, dass nur für das "g" eine
> Fallunterscheidung durchgeführt wird, verstehe ich die
> beiden Fälle, wo g=0 bzw. g>0 gilt. Die innere Funktion gx
> wird einfach in den Zähler gezogen, so dass dann die
> Fälle betrachtet werden können und je nachdem welcher
> Fall betrachtet wird, wird die Funktion dementsprechend
> geändert.
>
> Für den Fall g<0 habe ich noch Verständnisprobleme.
>
> Wir erhalten für g<0:
>
> [mm]exp(gx)=\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(gx)^{k}}{k!}[/mm]
>
> Nach diesem Schritt wird g=-m ersetzt. Wieso?
Nochmal: ich bin kein Hellseher. Bisher dehe ich keinen Grund, warum g=-m gesetzt wurde. In welchem Zusammenhang wurde diese Aufgabe besprochen ?
> Möchte man
> lediglich g durch eine andere Variable ersetzen, um das
> Minuszeichen in die Gleichung einzubringen oder hat es
> einen anderen Grund?
Was soll ich noch sagen ? Bin kein Hellseher.
>
> Wie sieht es mit einer anderen Funktion aus. Was passiert
> wenn ich exp(hx+10) habe? Würde ich, wenn ich dieses als
> Reihe darstellen würde, wie folgt darstellen? :
>
> [mm]exp(hx+10)=\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(hx+10)^{k}}{k!}[/mm]
Ja ! Es gilt
[mm]exp(FRED)=\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{FRED^{k}}{k!}[/mm]
für jeden $FRED [mm] \in \IC$
[/mm]
Gruß vom FRED
>
> Vielen Dank.
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Naja, erst einmal danke für die Antwort. Aber antworten mit "ich bin kein Hellseher" helfen mir leider nicht.
Für die letzte Erklärung mit der Reihe bin ich dankbar.
Es war eine eigenständige Aufgabe, wo die gegebene Funktion als Potenzreihe gegeben werden sollte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:35 Do 30.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Naja, erst einmal danke für die Antwort. Aber antworten
> mit "ich bin kein Hellseher" helfen mir leider nicht.
Das glaube ich Dir gerne. Aber was soll ich sonst antworten ?
Neulich kam ein Kollege zu mir und hatte die Funktion
[mm] f(x)=x^2+sin(x) [/mm]
dabei. Dann sagte er: [mm] "f(ax)=a^2x^2+sin(ax) [/mm] und wir setzen c=-a"
Frage an Dich: warum schreibt er f(ax) und setzt c=-a ?
Gib mir bitte eine Antwort, die mir hilft.
FRED
>
> Für die letzte Erklärung mit der Reihe bin ich dankbar.
>
> Es war eine eigenständige Aufgabe, wo die gegebene
> Funktion als Potenzreihe gegeben werden sollte.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:02 So 03.05.2015 | | Autor: | abakus |
>
> für jeden [mm]FRED \in \IC[/mm]
FRED ist halt eine sehr komplexe Persönlichkeit.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:26 Do 30.04.2015 | | Autor: | rmix22 |
> Folgende Schritte wurden vollzogen: Es wurde eine
> Fallunterscheidung durchgeführt, sprich was passiert, wenn
> g größer,kleiner oder gleich 0 ist? Meine erste Frage
> hier: Wieso wird die Fallunterscheidung nur bei g und nicht
> bei x vollzogen?
Wohl deswegen, weil x die unabhängige Variable der Funktion und damit auch der sie darstellenden Potenzreihe ist. Die einzige Unterscheidung bei x ist nach jenen Werten von x, für die die Reihe konvergiert und für die sie daher tatsächlich auch dir Funktion darstellt und jene, für die sich Divergenz einstellt -> Konvergenzbereich, Konvergenzradius.
Die Fallunterscheidung bei g ist, wie Fred schon ausgeführt hat, nicht nötig. Über die Gründe, warum sie vorgenommen wurde kann nur spekuliert werden. Du schreibst ja selbst auch nichts darüber.
>
> Nach diesem Schritt wird g=-m ersetzt. Wieso? Möchte man
> lediglich g durch eine andere Variable ersetzen, um das
> Minuszeichen in die Gleichung einzubringen oder hat es
> einen anderen Grund?
Wie gesagt - Spekulation und Kristallkugel.
Vorstellbar ist, dass durch diese Substitution $m:=-g\ [mm] \mbox{ mit }m>0\ [/mm] $ deutlicher herausgearbeitet wurde/werden sollte, dass sich für $g<0$ eine alternierende Reihe einstellt.
[mm]exp(-m\cdot x)=\summe_{k=0}^{\infty}\left[ (-1)^k\cdot \bruch{(m\cdot x)^{k}}{k!} \right][/mm]
Eine echte Notwendigkeit für eine Fallunterscheidung bei g oder diese Substitution will sich mir nicht aufdrängen.
Vielleicht schafft es mehr Klarheit, wenn du detaillierter beschreibst, was ihr in der Vorleseung nach dieser Substitution noch so alles angestellt habt.
Gruß Rmix
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Hallo,
vielen Dank. Habe mit einigen Kommilitonen gesprochen, die Fallunterscheidung sollte wie du schon gesagt hast es genauer darstellen, dass es sich ebenfalls um eine alternierende Reihe handeln kann.
Jedoch drängt sich bei mir eine neue Frage auf:
Wie sieht es im Fall exp(0) aus? Wie kann ich dies als Reihe darstellen? Nach dem was ich gelernt habe ergibt sich:
[mm] exp(0)=\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch{0^{k}}{k!}
[/mm]
Das kann doch aber nicht sein oder? Für exp(0) würde ich als Ergebnis 1 erhalten, für die Summe jedoch ist die Antwort nicht möglich, da es einen Widerspruch geben würde, wenn ich für k=0 einsetzen würde.
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:19 So 03.05.2015 | | Autor: | fred97 |
[mm] 0^0:=1
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:36 So 03.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]0^0:=1[/mm]
ergänzend:
und auch 0!=1. ("Null Fakultät ist gleich 1"; das != bedeutet NICHT ungleich!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:27 So 03.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gegeben ist die Funktion f(x)=exp(gx) mit g,x [mm]\in\IR[/mm]
> ,welche als Potenzreihe dargestellt werden soll.
>
> Zwar wurde die Aufgabe vorgerechnet, jedoch verstehe ich
> diese im Nachhinein nicht mehr ganz.
>
> Folgende Schritte wurden vollzogen: Es wurde eine
> Fallunterscheidung durchgeführt, sprich was passiert, wenn
> g größer,kleiner oder gleich 0 ist? Meine erste Frage
> hier: Wieso wird die Fallunterscheidung nur bei g und nicht
> bei x vollzogen?
wurde ja schon gesagt.
> Ich weiß, dass [mm]exp(x)=\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{x^{k}}{k!}[/mm]
> gilt.
>
> Außer dem Schritt, dass nur für das "g" eine
> Fallunterscheidung durchgeführt wird, verstehe ich die
> beiden Fälle, wo g=0 bzw. g>0 gilt. Die innere Funktion gx
> wird einfach in den Zähler gezogen, so dass dann die
> Fälle betrachtet werden können und je nachdem welcher
> Fall betrachtet wird, wird die Funktion dementsprechend
> geändert.
>
> Für den Fall g<0 habe ich noch Verständnisprobleme.
>
> Wir erhalten für g<0:
>
> [mm]exp(gx)=\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(gx)^{k}}{k!}[/mm]
>
> Nach diesem Schritt wird g=-m ersetzt. Wieso?
Auch da kann ich nur spekulieren - aber man hätte halt auch einfach in diesem
Fall [mm] $g=\,\red{-}\,|g|$ [/mm] schreiben können (es ist halt [mm] $m=|g|\,$). [/mm] Ich denke auch,
dass das eventuell folgendes zeigen kann:
Für [mm] $g=\,-\,|g|$ [/mm] gilt
[mm] $\exp(gx)=\exp(\,-\,|g|\cdot x)=\exp(|g| \cdot (-x))\,.$
[/mm]
Damit erkennst Du eine gewisse Symmetrie, die man auch in der Reihendarstellung
sieht.
Im Hinblick auf die Reihendarstellung sehe ich auch keinen Grund, warum
man das machen sollte. Sinnvoller wäre es vielleicht, einfach mal nur
[mm] $\exp(x)$
[/mm]
für $x [mm] \ge [/mm] 0$ und $x < [mm] 0\,$ [/mm] jeweils als Reihe hinzuschreiben:
Für $x [mm] \ge [/mm] 0$ gilt
[mm] $\exp(x)=\sum_{k=0}^\infty x^k/(k!)$. [/mm] (In diesem Falle kannst Du das auch
schreiben als [mm] $=\sum_{k=0}^\infty \,|x|^k/(k!)$.)
[/mm]
Für $x < [mm] 0\,$ [/mm] gilt das auch, aber mit [mm] $x=\,-\,|x|$ [/mm] sieht man in diesem Falle
[mm] $\exp(x)=\sum_{k=0}^\infty (-\,|x|\,)^k/(k!)=\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\,|x|^k/(k!)$
[/mm]
Da erkennt man dann wirklich eine alternierende Reihe!
Gruß,
Marcel
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