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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:14 Sa 16.09.2006 | | Autor: | Clone |
| Aufgabe | In der Entwicklungsabteilung einer Ventilefabrik werden verschiedene Ventile getestet: In einem Wasserbehälter befinden sich zu Beginn 50 Liter Wasser, der Wasserzufluss bzw. -abfluss wird mit zwei Ventilen geregelt. Zunächst ist nur ein Ventil geöffnet. Die Zuflussgeschwindigkeit bei einem Test wird beschrieben durch: V ´(t) = 0,6 e^(-0,01 t); (t in Minuten, V ´(t) in Liter pro Minute)
a) Welches Wasservolumen ist nach einer Stunde im Behälter und mit welchem Volumen ist längfristig zu rechnen?
b) Nach welcher Zeit befindet sich im Behälter die doppelte Wassermenge wie zu Beginn?
c) Wenn der Wasserbehälter 100 Liter enthält, wird auch das zweite Ventil geöffnet, so dass die gesamte Volumenänderung beschrieben wird duch: V* ´(t) = -0,9 e^(0,05 t). => Wie lange dauert das es, bis der Wasserbehälter leer ist? |
Hallo,
nächste Woche muss ich diese Aufgabe im Unterricht vorrechnen. Aber vorerst müsste ich ein paar Schwierigkeiten und Fragen klären. Also ich verstehe nicht wie ich a) ausrechnen soll, denn wenn ich versuche V ´(t) aufzuleiten um auf die Stammfunktion zu kommen, dann bekomme ich das heraus : V(t) = [mm] -60e^{-0,01t}. [/mm] Das ist meiner Meinung nach eine Funktion die "abfällt". Das heißt, dass der Behälter leer wird. Ich weiß nun nicht, wie ich auf die richtige Funktion kommen soll.
Ich hoffe, dass mir jemand helfen kann.
Gruß
Clone
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Hi, Clone,
> In der Entwicklungsabteilung einer Ventilefabrik werden
> verschiedene Ventile getestet: In einem Wasserbehälter
> befinden sich zu Beginn 50 Liter Wasser, der Wasserzufluss
> bzw. -abfluss wird mit zwei Ventilen geregelt. Zunächst ist
> nur ein Ventil geöffnet. Die Zuflussgeschwindigkeit bei
> einem Test wird beschrieben durch: V ´(t) = 0,6 e^(-0,01
> t); (t in Minuten, V ´(t) in Liter pro Minute)
> a) Welches Wasservolumen ist nach einer Stunde im Behälter
> und mit welchem Volumen ist längfristig zu rechnen?
> b) Nach welcher Zeit befindet sich im Behälter die
> doppelte Wassermenge wie zu Beginn?
> c) Wenn der Wasserbehälter 100 Liter enthält, wird auch
> das zweite Ventil geöffnet, so dass die gesamte
> Volumenänderung beschrieben wird duch: V* ´(t) = -0,9
> e^(0,05 t). => Wie lange dauert das es, bis der
> Wasserbehälter leer ist?
> Also ich verstehe nicht
> wie ich a) ausrechnen soll, denn wenn ich versuche V ´(t)
> aufzuleiten um auf die Stammfunktion zu kommen, dann
> bekomme ich das heraus : V(t) = [mm]-60e^{-0,01t}.[/mm]
Du hast eigentlich nur vergessen, dass beim unbestimmten Integral eine Integrationsvariable (c) dazukommt:
V(t) = [mm] -60*e^{-0,01t} \red{+c}
[/mm]
Und diese Konstante kannst Du nun aus der "Anfangsbedingung", also:
"zu Beginn 50 Liter Wasser" bzw. V(0) = 50, ausrechnen!
Klar soweit?
PS: Übrigens entspricht diese Konstante c gleichzeitig dem "langfristig zu erwartenden Volumen!)
mfG!
Zwerglein
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