Exponentialfunktion < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:01 Mi 14.03.2007 | | Autor: | Hollo |
Hallo zusammen,
hab ne kurze ja-nein-Frage (obwohl ich gegen ne kurze Erläuterung auch nichts hätte  ). Und zwar:
Ist [mm]exp:\IC \to \{z \in \IC | z \not= 0 \}[/mm] bijektiv?
Gruß Hollo
|
|
| |
|
Hallo!
Leider hast du die Definition deiner Aufgabe nicht ganz klar gemacht. Du meinst wohl das hier, oder?
[mm] $\IC \to \IC: [/mm] z [mm] \to e^z [/mm] $
Das ist sicher nicht bijektiv, denn schreibst du z=a+ib, so erhälst du:
[mm] $e^{a+ib}=e^a*(\cos(b)+i*\sin(b)) [/mm] $
Der Realteil von z liefert dir also die streng monotone e-Funktion, aber der imaginäre liefert dir sowas wie einen Kreis.
Anschaulich:
die Funktion liefert dir einen "Vektor" in der imag. Ebene mit Länge a und Winkel b zur pos. reellen Achse.
Daraus folgt, daß alle z, deren imaginärteil sich um Vielfache von [mm] $2\pi$ [/mm] unterscheiden, den gleichen Funktionswert haben!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:29 Mi 14.03.2007 | | Autor: | Hollo |
Hi Event!
Danke für deine Antwort, hast mich aber leider falsch verstanden glaub ich..
Ich meinte die normale Exponentialfunktion, nur auf die Null wird nichts geschickt. Also:
f: [mm] \IC \to \IC [/mm] \ [mm] \{0\} [/mm] , [mm] f(z)=e^{z}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:41 Mi 14.03.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hi Event!
> Danke für deine Antwort, hast mich aber leider falsch
> verstanden glaub ich..
> Ich meinte die normale Exponentialfunktion, nur auf die
> Null wird nichts geschickt. Also:
> f: [mm]\IC \to \IC[/mm] \ [mm]\{0\}[/mm] , [mm]f(z)=e^{z}[/mm]
Genau die Funktion hat Event Horizon ja benutzt.
f: [mm] \IC\to\IC/\{0\}
[/mm]
[mm] z\mapsto e^{z} [/mm] meint folgende Funktion:
[mm] f(z)=e^{z}
[/mm]
mit [mm] D=\IC [/mm] und [mm] W=\IC/\{0\}
[/mm]
Und für jede Komplexe Zahl [mm] z\in\IC [/mm] gilt:
[mm] z=\underbrace{a}_{Re(z)}+i\underbrace{b}_{Im(z)} [/mm] mit [mm] a,b\in\IR.
[/mm]
Also gilt:
[mm] e^{z}=e^{a+ib}.
[/mm]
Und das ist in [mm] \IC [/mm] eine Kreisgleichung.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:36 Do 15.03.2007 | | Autor: | Hollo |
Okay vielen Dank an euch! Habs eingesehen die komplexe Exponentialfunktion ist 2 [mm] \pi [/mm] i - periodisch, und damit alles andere als bijektiv..
|
|
|
|
