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| Aufgabe | | Die Funktion f ist gegeben durch $ [mm] f(x)=a*e^x+b*e^{-x} [/mm] $ mit festen Zahlen a, b $ [mm] \in \IR\ [/mm] $ {0}. Zeige dass der Graph von f entweder einen Extrempunkt oder einen Wendepunkt besitzt. |
Hallo,
ich übe immer noch für meine Klausur am Mittwoch und habe diese Aufgabe unter anderem von meinem Lehrer gestellt bekommen.
Jetzt ist dieses Thema schon relativ lange her und ich weiß nicht mehr genau, wie man das macht. Ich schreibe mal, was ich gemacht habe und es wäre super, wenn ihr mir sagen könntet, wie ich es denn richtig mache:
$ [mm] f(x)=a*e^x+b*e^{-x} [/mm] $
$ [mm] f'(x)=a*x*e^{x-1}-b*x*e^{-x-1} [/mm] $
$ [mm] f''(x)=(a\cdot{}x\cdot{}(x-1)\cdot{}e^{x-2})-(b\cdot{}x\cdot{}(-x-1)\cdot{}e^{-x-2}) [/mm] $
$ [mm] f'''(x)=(a*x*(x-1)*(x-2)*e^{x-3})-(b*x*(-x-1)*(-x-2)*e^{-x-3}) [/mm] $
Falls die Ableitungen richtig sind, sehe ich natürlich, dass x=0 bei den Ableitungen immer eine Nullstelle ist.
Aah, und wenn ich die Null aus der ersten Ableitung in die zweite Ableitung einsetze, kommt auch Null raus. Dies würde auf einen Sattelpunkt hinweisen, aber da f'''(0) auch gleich Null ist, liegt kein Wendepunkt vor. Hat das irgendetwas mit einander zu tun?
Danke schon jetzt für eure Hilfe!
LG TryingHard
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:07 Mo 04.12.2006 | | Autor: | hopsie |
Hallo!
Deine Ableitungen sind falsch.
Wenn du [mm] e^{x} [/mm] ableitest kommt wieder [mm] e^{x} [/mm] raus.
Wenn du [mm] e^{-x} [/mm] ableitest kommt [mm] -e^{-x} [/mm] , da du noch nachdifferentieren musst.
Gruß, hopsie
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[mm] $\rmfamily \text{Hi,}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Du darfst Exponentialfunktionen (nicht persönlich nehmen, aber: um Gotten willen!!) nicht ableiten, wie Po-}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{tenzfunktionen. Du musst bedenken, dass hier das Argument nicht die Basis, sondern der Exponent ist.}$ [/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Gruß, Stefan.}$ [/mm]
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Hey,
achja stimmt, danke.
Aber dann komme ich immer noch nicht wirklich weiter.
Dann kommen ja folgende Ableitungen raus:
$ [mm] f(x)=a*e^x+b*e^{-x} [/mm] $
$ [mm] f'(x)=a\cdot{}e^{x}-b\cdot{}e^{-x} [/mm] $
$ [mm] f''(x)=a*e^x+b*e^{-x} [/mm] $
$ [mm] f'''(x)=a*e^x-b*e^{-x} [/mm] $
Aber wie soll ich denn jetzt zeigen, dass der Graph von f entweder einen Extrempunkt oder einen Wendepunkt besitzt?
Danke schon jetzt!
LG TryingHard
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:33 Mo 04.12.2006 | | Autor: | Jaw |
Moin!
Abhängig davon wie die Parameter a und b gewählt werden , können immer nur jeweils f und f´´ oder f´ und f´´´ 0 werden.
Bsp:
[mm] e^x [/mm] bzw [mm] e^{-x} [/mm] sind immer positiv.
Wenn a und b das gleiche Vorzeichen haben können nur f´ und f´´´ = o werden , haben a und b unterschiedliche Vorzeichen können nur f und f´´ jemals 0 werden .
Gruß
Jaw
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