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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:35 Fr 17.11.2006 | | Autor: | Sarah288 |
| Aufgabe | | Bestimme a so, dass das Schaubild der Funktion [mm] f(x)=a^x [/mm] die Gerade mit der Gleichung y=x berührt. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen! Muss ich nicht einfach die erste Ableitung aufstellen und die mit der Geradengleichung gleich setzten? Aber ich weiß nicht wie ich dann weiter vorgehen soll...
Kann mir vielleicht jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:14 Fr 17.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Sarah
Die Idee mit der Ableitung ist gut.
Die Gerade berührt den Graphen an der Stelle, an der die Steigung gleich ist.
Die Gerade hat ja die Steigung 1.
Also muss für den Berührpunkt B(b/f(b)) gelten:
f'(b)=1
und f(b)=b, weil der Berührpunkt auf der Geraden y=x liegt.
Jetzt bestimmen wir mal b.
Also [mm] b=a^{b}
[/mm]
[mm] \gdw a=\wurzel[b]{b}
[/mm]
Jetzt gilt: f'(b)=1
Dazu bilde mal die Ableitung f'(x)
Es gilt: [mm] f(x)=a^{x}, [/mm] also
[mm] f'(x)=a^{x}*ln(a). [/mm] Falls du nachsehen willst, schau ![[]](/images/popup.gif) hier nach.
Jetzt muss gelten:
f'(b)=1
Also
[mm] 1=a^{b}*ln(b)
[/mm]
Wenn du jetzt den obigen Term für a einsetzt
[mm] 1=\left(\wurzel[b]{b}\right)^{b}*ln\left(\wurzel[b]{b}\right)
[/mm]
[mm] \gdw1=b*ln\left(\wurzel[b]{b}\right)
[/mm]
[mm] \gdw e^{\left(\bruch{1}{b}\right)}=\wurzel[b]{b}
[/mm]
[mm] \gdw e^{\left(\bruch{1}{b}\right)^{b}}=b
[/mm]
Damit könnte ich jetzt theoretisch b bestimmen, wenn ich es auflösen könnte.
Deswegen lasse ich die Frage mal auf z.T. beantwortet stehen.
Hast du evtl den Berührpunkt gegeben? Dann würde es einfacher werden.
Marius
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Kleiner Nachtrag zu dem Beitrag über mir:
[mm] $1=b\ln\wurzel[b]{b}=b\ln{b}^\bruch{1}{b}$
[/mm]
Die LOG-Gesetze besagen, daß man einen Exponenten vor den LOG ziehen kann:
[mm] $1=b\bruch{1}{b}\ln{b}=\ln [/mm] b$
$b=e$
Auch in der letzten Zeile hätte man ein Potenzgesetz anwenden können: [mm] ${\left( a^b\right)} ^c=a^{b*c}$
[/mm]
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