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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:03 So 20.10.2013 | | Autor: | drahmas |
| Aufgabe | [mm] z^3=8
[/mm]
Geben Sie die Lösung in Polar und Summenschreibweise an. |
Hallo,
ich habe o.g. komplexe Zahl und möchte die Polar und Summenform über die Exponentialform ermitteln.
Wir haben das auch schon gemacht, leider habe ich mir aber keine vollständigen Notizen machen können, daher frage ich noch einmal.
Zunächst mal sehe ich ja anhand der Potenz, dass man drei Lösungen erhält.
Die erste Lösung ermittle ich anhand der dritten Wurzel.
[mm] z=\wurzel[3]{8}=2=LSG1
[/mm]
Diese LSG. enthält ja nur einen Realteil, welcher mir auch den Betrag der komplexen Zahl verrät, in diesem Fall also |z|=2.
Da ich ja weiß, dass drei Lösungen existieren, kann ich ja in der Exponentialform [mm] z=r*e^i^\phi [/mm] einfach die entsprechenden Winkel "hinzuaddieren" und sollte so auf die übrigen Lösungen kommen.
[mm] \phi_1=\bruch{2}{3}\pi
[/mm]
[mm] \phi_2=\bruch{4}{3}\pi
[/mm]
Eingesetzt ergäbe das dann
[mm] z_1=2*e^i^{\bruch{2}{3}\pi}
[/mm]
[mm] z_2=2*e^i^{\bruch{4}{3}\pi}
[/mm]
Bin ich da so weit auf dem richtigen Weg oder habe ich etwas unberücksichtigt gelassen?
Wäre für einen Tipp dankbar.
Schöne Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:08 So 20.10.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo drahmas,
da bist Du auf dem richtigen Weg. Der Betrag der Lösung muss einen Wert von 2 besitzen und das Dreifache der Winkel (wegen der drittten Potenz) muss wieder einen Wert liefern, der auf der reellen Achse liegt. Der dritte Wert, der Dir noch fehlt, ist der mir dem Winkel von 0 Grad.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:33 So 20.10.2013 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
danke für die Antwort.
Die Exponentialform der ersten Lösung wäre ja dann [mm] 2*e^{i*2\pi}, [/mm] oder?
Was ich noch nicht ganz verstehe, kann ich das jetzt direkt in die Normal- bzw. Polarform umrechnen, oder fehlt da noch etwas?
Wenn ja, wie rechnet man das um?
Besten Dank…
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:43 So 20.10.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
ja das ist die letzte noch fehlende Lösung, mit 0 Grad statt 2 Pi kommt man auch hin.
Die Polarform ist damit gegeben in komplexer Form, zum Umrechnen in kartesische Koordinaten genügt es, den Sinus und Cosinus einzuführen:
[mm] z = r \cdot e^{j \varphi} = r \cdor (\cos \varphi + i \sin \varphi) [/mm]
Das ist alles.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:00 So 20.10.2013 | | Autor: | drahmas |
Ah, super, dann ist mir das jetzt klar!
Danke!
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