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| Aufgabe | Zeigen Sie:
[mm] \forall [/mm] q [mm] \in [/mm] Q : exp(q) = [mm] e^q [/mm] , wobei exp(1)=e |
Hallo,
wir haben exp(x) := [mm] \summe_{k=0}^\infty \bruch{x^k}{k!} [/mm] definiert.
Somit ist :
exp(q) = [mm] \summe_{k=0}^\infty \bruch{q^k}{k!} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^\infty \bruch{1}{k!} \summe_{k=0}^\infty q^k [/mm] , weil beide konvergent sind
= e [mm] \bruch{1}{1-\bruch{1}{q}} [/mm] ... das ist leider aber [mm] e\bruch{q}{9} [/mm] und nicht [mm] e^q... [/mm] wo habe ich einen Fehler gemacht?
Snafu
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Hallo,
> Zeigen Sie:
> [mm]\forall[/mm] q [mm]\in[/mm] Q : exp(q) = [mm]e^q[/mm] , wobei exp(1)=e
> Hallo,
>
> wir haben exp(x) := [mm]\summe_{k=0}^\infty \bruch{x^k}{k!}[/mm]
> definiert.
> Somit ist :
> exp(q) = [mm]\summe_{k=0}^\infty \bruch{q^k}{k!}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^\infty \bruch{1}{k!} \summe_{k=0}^\infty q^k[/mm] ,
> weil beide konvergent sind
Dieses Gesetz gibt es nicht!
Es ist doch auch nicht (a*b + c*d + e*f) = (a+c+e)*(b+d+f) !
So wie ich die Aufgabenstellung jetzt verstanden habe, darfst du benutzen, dass e = exp(1) ist.
Wenn du das ![[]](/images/popup.gif) Cauchy-Produkt kennst, könntest du die Identität schonmal für [mm] e^{n} (n\in\IN) [/mm] beweisen.
Der Schritt zu [mm] n\in\IZ [/mm] ist dann mit den (bestimmt schon hergeleiteten) Rechnenregeln für exp(.) nicht schwer...
Grüße,
Stefan
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Hi,
was heißt Identität von [mm] e^n [/mm] ? Und ich erkenne noch nicht ganz wie mit exp(1) = e weiter helfen soll?
Soll ich den Ansatz machen [mm] e^n [/mm] = [mm] (\summe \bruch{1^k}{k!})^n? [/mm] und da Cauchy-Produkt anwenden?
[mm] =>(\summe^\infty \summe^n \bruch{1}{k!} 1^{n+1-k} )e^{n-2}
[/mm]
Snafu
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Hallo,
> Hi,
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> was heißt Identität von [mm]e^n[/mm] ?
Ich meinte damit, dass du die Aussage ("Identität") [mm] $e^{n} [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}$ [/mm] schonmal für [mm] $n\in\IN$ [/mm] zeigen kannst.
> Und ich erkenne noch nicht
> ganz wie mit exp(1) = e weiter helfen soll?
> Soll ich den Ansatz machen [mm]e^n[/mm] = [mm](\summe \bruch{1^k}{k!})^n?[/mm]
> und da Cauchy-Produkt anwenden?
Genau!
> [mm]=>(\summe^\infty \summe^n \bruch{1}{k!} 1^{n+1-k} )e^{n-2}[/mm]
Das ist nicht richtig. Wie kommst du darauf?
Cauchy-Produkt:
[mm] $e^{2} [/mm] = e*e = exp(1)*exp(1) = [mm] \left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\right)*\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\right)$
[/mm]
Nun Cauchy-Produkt:
$= [mm] \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}*\frac{1}{(n-k)!}$
[/mm]
Nun nutze aus, dass [mm] $\vektor{n\\k} [/mm] = [mm] \frac{n!}{k!*(n-k)!}$ [/mm] und [mm] $\sum_{k=0}^{n}\vektor{n\\k} [/mm] = [mm] 2^{n}$.
[/mm]
Wenn du ein Gefühl dafür bekommen hast, kannst du nun mit Induktion die Aussage für alle [mm] n\in\IN [/mm] beweisen.
Der Schritt, die Aussage dann für alle [mm] n\in\IZ [/mm] zu beweisen, dürfte nicht schwer sein.
Was für Eigenschaften habt ihr denn schon von [mm] \exp [/mm] bzw. [mm] e^{...} [/mm] bewiesen?
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:08 Di 11.05.2010 | | Autor: | SnafuBernd |
Hi,
ich muss es nicht für x [mm] \in \IZ [/mm] sondern [mm] \in \IQ [/mm] zeigen.
Bewiesen haben wir eigentlich fast gar nichts. Die Eigenschaften wurden uns einfach vorgestellt.
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Hi,
hab jetzt einen etwas anderen Ansatz genohmen, komme da aber an einer Stelle auch nicht weiter:
z.z. exp(q) = [mm] e^q [/mm] , [mm] ^\in \IQ [/mm]
[mm] e^q [/mm] = [mm] (exp(1))^q [/mm] = [mm] (\summe_{k=0}^\infty \bruch{1}{k!})^q [/mm] = [mm] (\summe_{k=0}^\infty \bruch{1}{k!})\bruch{a}{b} [/mm] , a,b [mm] \in \IN
[/mm]
z.z [mm] e^a [/mm] = exp(a) [mm] \forall [/mm] a [mm] \in \IN
[/mm]
IA: e = exp(1)
IV: Beh. gilt für festes aber beliebiges a
IS: a->a+1:
[mm] e^{a+1} [/mm] = [mm] e^a [/mm] e = exp(a) exp(1) = in der Vorlesung gemacht = exp(a+1)
z.z [mm] e^\bruch{1}{b} [/mm] = [mm] exp(\bruch{1}{b}) \forall [/mm] b [mm] \in \IN [/mm]
hier komme ich nicht weiter, wie zeige ich das für einen Bruch ?
Snafu
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Hallo,
> Hi,
>
> hab jetzt einen etwas anderen Ansatz genohmen, komme da
> aber an einer Stelle auch nicht weiter:
> z.z. exp(q) = [mm]e^q[/mm] , [mm]^\in \IQ[/mm]
> [mm]e^q[/mm] = [mm](exp(1))^q[/mm] = [mm](\summe_{k=0}^\infty \bruch{1}{k!})^q[/mm] =
> [mm](\summe_{k=0}^\infty \bruch{1}{k!})\bruch{a}{b}[/mm] , a,b [mm]\in \IN[/mm]
>
> z.z [mm]e^a[/mm] = exp(a) [mm]\forall[/mm] a [mm]\in \IN[/mm]
> IA: e = exp(1)
> IV: Beh. gilt für festes aber beliebiges a
> IS: a->a+1:
> [mm]e^{a+1}[/mm] = [mm]e^a[/mm] e = exp(a) exp(1) = in der Vorlesung gemacht
> = exp(a+1)
Mir wird unklarer, was ihr schon gemacht habt und was nicht. Deswegen jetzt nur ein Tipp zur Folgenden Frage:
> z.z [mm]e^\bruch{1}{b}[/mm] = [mm]exp(\bruch{1}{b}) \forall[/mm] b [mm]\in \IN[/mm]
Berechne [mm] $\Big[exp\Big(\frac{1}{b}\Big)\Big]^{b}$ [/mm] für [mm] b\in\IN [/mm] mit deinen bekannten Rechenregeln. Es muss $exp(1) = [mm] e^{1}$ [/mm] herauskommen. Dann die b-te Wurzel ziehen.
Grüße,
Stefan
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HI,
hatten nur bewiesen: exp(a)exp(b)=exo(a+b)
so nun zu [mm] exp(\bruch{1}{b}):
[/mm]
[mm] exp(\bruch{1}{b})^b [/mm] = [mm] exp(\bruch{1}{b})exp(\bruch{1}{b}).....exp(\bruch{1}{b})=exp(\bruch{1}{b} [/mm] + [mm] \bruch{1}{b} [/mm] + [mm] \bruch{1}{b}+...+\bruch{1}{b}) [/mm] = exp(1) = [mm] e^1 [/mm] = [mm] e^\bruch{b}{b} [/mm] = [mm] (e^\bruch{1}{b})^b [/mm] => [mm] e^\bruch{1}{b} [/mm] = [mm] exp(\bruch{1}{b}) [/mm]
so wie ich das sehe reich das und ich brauche keine Induktion, oder?
Snafu
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Hallo!
> HI,
>
> hatten nur bewiesen: exp(a)exp(b)=exo(a+b)
>
> so nun zu [mm]exp(\bruch{1}{b}):[/mm]
> [mm]exp(\bruch{1}{b})^b[/mm] =
> [mm]exp(\bruch{1}{b})exp(\bruch{1}{b}).....exp(\bruch{1}{b})=exp(\bruch{1}{b}[/mm]
> + [mm]\bruch{1}{b}[/mm] + [mm]\bruch{1}{b}+...+\bruch{1}{b})[/mm] = exp(1) =
> [mm]e^1[/mm] = [mm]e^\bruch{b}{b}[/mm] = [mm](e^\bruch{1}{b})^b[/mm] => [mm]e^\bruch{1}{b}[/mm]
> = [mm]exp(\bruch{1}{b})[/mm]
> so wie ich das sehe reich das und ich brauche keine
> Induktion, oder?
Immer dort, wo Pünktchen und "b-mal dieser Faktor" steht, steckt eigentlich eine Induktion dahinter.
Da die hier aber so einfach ist, dürfte das okay sein.
Grüße,
Stefan
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