Exponentialansatz < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:37 Do 21.08.2014 | | Autor: | Sim22 |
| Aufgabe | Lösen Sie die Differentialgleichung:
x''-4x'+3x=exp(3t) |
Hallo Mathe-Forum,
Ich habe die Aufgabe versucht mit dem Exponentialansatz zu lösen.
Jedoch erhalte ich für die speziellen Teil der DGL keine Lösung:
Exponentialansatz:
x(t)=a*exp(3t)
x'(t)=(3)*a*exp(3t)
[mm] x''(t)=(3)^2*a*exp(3t)
[/mm]
Einsetzen:
[mm] (3)^2*a*exp(3t)-4*(3*a*exp(3t))+3*a*exp(3t)=exp(3t)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 9a-12a+3=1
[mm] \Rightarrow [/mm] 0=1
Nun habe ich die DGL auf eine andere Art und Weise gelöst und kam auf folgendes Ergebnis:
x(t)=c1*exp(3t)+c2*exp(t)+1/2*exp(3t)*t
Nun ist meine Frage, wieso funktioniert des Exponentialansatz bei dieser Aufgabe nicht?
Ich würde mich über eine Antwort sehr freuen!
Mit freundlichen Grüßen!
|
|
| |
|
Hallo Sim22,
> Lösen Sie die Differentialgleichung:
> x''-4x'+3x=exp(3t)
> Hallo Mathe-Forum,
> Ich habe die Aufgabe versucht mit dem Exponentialansatz zu
> lösen.
> Jedoch erhalte ich für die speziellen Teil der DGL keine
> Lösung:
> Exponentialansatz:
>
> x(t)=a*exp(3t)
> x'(t)=(3)*a*exp(3t)
> [mm]x''(t)=(3)^2*a*exp(3t)[/mm]
>
> Einsetzen:
> [mm](3)^2*a*exp(3t)-4*(3*a*exp(3t))+3*a*exp(3t)=exp(3t)[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] 9a-12a+3=1
> [mm]\Rightarrow[/mm] 0=1
>
> Nun habe ich die DGL auf eine andere Art und Weise gelöst
> und kam auf folgendes Ergebnis:
> x(t)=c1*exp(3t)+c2*exp(t)+1/2*exp(3t)*t
>
> Nun ist meine Frage, wieso funktioniert des
> Exponentialansatz bei dieser Aufgabe nicht?
>
Weil die Inhomogenität die homogene DGL löst.
> Ich würde mich über eine Antwort sehr freuen!
> Mit freundlichen Grüßen!
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Do 21.08.2014 | | Autor: | Sim22 |
Danke für deine schnelle Antwort!
Und wenn dieser Fall eintrifft, dass die Inhomogenität die Lösung der homogeneren DGL ist, kann man diese Aufgabe gar nicht mit dem Exponentialansatz lösen oder gibt es da einen weiteren Trick?
Ich würde mich über eine Antwort freuen!
|
|
|
| |
|
Hallo Sim22,
> Danke für deine schnelle Antwort!
> Und wenn dieser Fall eintrifft, dass die Inhomogenität
> die Lösung der homogeneren DGL ist, kann man diese Aufgabe
> gar nicht mit dem Exponentialansatz lösen oder gibt es da
> einen weiteren Trick?
>
Wenn, wie im vorliegenden Fall, die Inhomogenität
die homogene DGL löst, so ist der normale Ansatz
[mm]c*e^{3t}[/mm] entsprechend der Vielfachheit der
Lösung 3 im charakteristischen Polynom zu multiplizieren.
Hier hat 3 die Vielfachheit 1 im charakteristischen Polynom.
Damit lautet der Ansatz für die partikuläre Lösung:
[mm]c*t^{\blue{1}}*e^{3t}[/mm]
> Ich würde mich über eine Antwort freuen!
Gruss
MathePower
|
|
|
|
