Explizite Form aus rekursiver < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:49 Sa 29.03.2008 | | Autor: | Jedec |
| Aufgabe | geg:
c(0)=1
c(n)=c(n-1)+0,2*(5,2-c(n-1))
Bestimmen sie die explizite Form der Folge |
also ich hab' mal die ersten paar Folgenglieder berechnet:
[mm] c(2)=\bruch{46}{25}
[/mm]
[mm] c(3)=\bruch{314}{125}
[/mm]
[mm] c(4)=\bruch{1906}{625}
[/mm]
[mm] c(5)=\bruch{10874}{3125}
[/mm]
Unterm Bruch lässt sich die Regelmäßigkeit leicht erkennen: [mm] 5^n
[/mm]
Überm Bruch hab' ich mal eine Primfaktorzerlegung gemacht und die Zahlen bestehen aus nur 2 Primzahlen!
46=2*23
314=2*157
1906=2*953
10874=2*5437
Da hab' ich keine Ahnung, wie man da 'ne Regelmäßigkeit erkennen soll...
Könnt ihr mir helfen?
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> geg:
> c(0)=1
> c(n)=c(n-1)+0,2*(5,2-c(n-1))
> Bestimmen sie die explizite Form der Folge
> also ich hab' mal die ersten paar Folgenglieder
> berechnet:
>
> [mm]c(2)=\bruch{46}{25}[/mm]
Nein, ich denke, dies ist $c(1)$
> [mm]c(3)=\bruch{314}{125}[/mm]
und dies $c(2)$ usw.
> [mm]c(4)=\bruch{1906}{625}[/mm]
> [mm]c(5)=\bruch{10874}{3125}[/mm]
>
> Unterm Bruch lässt sich die Regelmäßigkeit leicht erkennen:
> [mm]5^n[/mm]
> Überm Bruch hab' ich mal eine Primfaktorzerlegung gemacht
> und die Zahlen bestehen aus nur 2 Primzahlen!
>
> 46=2*23
> 314=2*157
> 1906=2*953
> 10874=2*5437
>
> Da hab' ich keine Ahnung, wie man da 'ne Regelmäßigkeit
> erkennen soll...
>
> Könnt ihr mir helfen?
Du kannst die Rekursionsgleichung für [mm] $c_n$ [/mm] auf die Form [mm] $c_n=0.8 c_{n-1}+1.04$ [/mm] bzw. [mm] $c_n [/mm] = [mm] \frac{4}{5}c_{n-1}+\frac{26}{5}$ [/mm] vereinfachen.
Würde diese Rekursionsgleichung [mm] $c_n=0.8 c_{n-1}$ [/mm] lauten, so würde es sich um eine geometrische Folge der Form [mm] $c_n=0.8^n$ [/mm] handeln.
Ein beliebiges Vielfaches dieser geometrischen Folge [mm] $n\mapsto 0.8^n$ [/mm] kann man zu einer Lösung der Rekursionsgleichung [mm] $c_n=0.8 c_{n-1}+1.04$ [/mm] addieren ohne dass die Rekursiongleichung deswegen ungültig würde.
Eine spezielle Lösung der Rekursiongleichung [mm] $c_n=0.8 c_{n-1}+1.04$ [/mm] erhält man, indem man kurzerhand [mm] $c_n=c_{n-1}$ [/mm] setzt (also: Annahme einer konstanten Folge). Ergibt [mm] $c_n=0.8 c_n+1.04$. [/mm] Woraus [mm] $c_n=5.2$ [/mm] folgt. Diese Folge erfüllt zwar die Rekursionsgleichung [mm] $c_n [/mm] = 0.8 [mm] c_{n-1}+1.04$, [/mm] nicht jedoch die Anfangsbedingung [mm] $c_0=1$.
[/mm]
Nun können wir aber diese beiden Folgen, die Folge [mm] $n\mapsto 0.8^n$ [/mm] und die Folge [mm] $n\mapsto [/mm] 5.2$, zu einer Lösung der Rekursionsgleichung [mm] $c_n=0.8 c_{n-1}+1.04$ [/mm] so zusammensetzen, dass auch die Anfangsbedingung [mm] $c_0=1$ [/mm] erfüllt. Sei etwa [mm] $c_n [/mm] := [mm] \alpha \cdot 0.8^n+5.2$. [/mm] Wobei wir [mm] $\alpha$ [/mm] noch so zu wählen haben, dass die Anfangsbedingung erfüllt ist: also [mm] $c_0=\alpha \cdot 0.8^0+5.2=1$; [/mm] woraus [mm] $\alpha=-4.2=-\frac{21}{5}$ [/mm] folgt.
Damit haben wir [mm] $\underline{\underline{c_n=-\frac{21}{5}\cdot \left(\frac{4}{5}\right)^n+\frac{26}{5}}}$.
[/mm]
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Hi...
also ich habe mir das gerade 'mal durchgelesen, weil mich das
Problem generell auch interessiert.
Der Weg scheint ja irgendwie schon richtig und ich finde es auch gut, dass du dich auf geometrische Folgen beziehst. Aber ich verstehe trotzdem nicht, wie du auf deine Zwischenschritte kommst und was du mit ihnen bewirkst.
Achja, ich habe gehört, dass man rekursive Folgen furch lineare Regression in explizite Folgen umwandeln kann. (Habe den wikipedia-artikel schon gelesen) Ich habe in meinem grafikfähigen Taschenrechner auch eine Funktion, die heißt "Lineare Regression". Hilft mir das bei dem Problem weiter?
beste grüße
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> Hi...
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> also ich habe mir das gerade 'mal durchgelesen, weil mich
> das
> Problem generell auch interessiert.
> Der Weg scheint ja irgendwie schon richtig und ich finde
> es auch gut, dass du dich auf geometrische Folgen beziehst.
> Aber ich verstehe trotzdem nicht, wie du auf deine
> Zwischenschritte kommst und was du mit ihnen bewirkst.
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> Achja, ich habe gehört, dass man rekursive Folgen furch
> lineare Regression in explizite Folgen umwandeln kann.
> (Habe den wikipedia-artikel schon gelesen) Ich habe in
> meinem grafikfähigen Taschenrechner auch eine Funktion, die
> heißt "Lineare Regression". Hilft mir das bei dem Problem
> weiter?
Nicht dass ich wüsste. Was ich gemacht habe ist lediglich eine Schmalspurversion der Theorie der sogenannten "linearen Differenzengleichungen". Die allgemeine Lösung einer (inhomogenen) linearen Differenzengleichung ergibt sich nämlich aus der Summe einer (beliebigen) speziellen Lösung (hier [mm] $n\mapsto [/mm] 5.2$) und einer Linearkombination einer Basis des Lösungsraumes der zugehörigen homogen-linearen Differenzengleichung (hier [mm] $n\mapsto \alpha \cdot 0.8^n$).
[/mm]
Vielleicht suchst Du mal unter diesem Thema "lineare Differenzengleichung"? Zum Beispiel in der Wikipedia ![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Differenzengleichung
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