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| Aufgabe | Die Matrix ist gegeben durch
A = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ a & 1 }
[/mm]
Berechne exp (t*A) |
Hallo!
Ich muss innerhalb einer Aufgabe um lineare DGLs diese Gleichung lösen, weiß aber nicht wie ich das machen soll....
Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Aufgabe | A = [mm] \pmat{ a & b & c \\ 0 & a & d \\ 0 & 0 & a }
[/mm]
Berechne exp (A) |
In einer anderen Aufgabe habe ich das gleiche Problem...
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Hallo,
deine beiden matritzen sind sehr speziell, deshalb kann man relativ leicht deren exponential bestimmen.
Beide sind dreiecks-matrizen und beide haben konstante Einträge auf der Diagonalen: es gilt also:
[mm] $M=\lambda \cdot [/mm] E + D$
wobei [mm] $\lambda\in \IR$, [/mm] $E$ die Einheitsmatrix und $D$ eine Dreiecksmatrix mit $0$-Diagonale ist, also nilpotent.
Da die beiden Matritzen kommutieren (und nur deswegen!! ist dir klar, warum?), gilt folgende schöne eigenschaft der exponentialfunktion:
[mm] $\exp (M)=\exp(\lambda E+D)=\exp(\lambda E)\cdot \exp(D)$
[/mm]
[mm] $\exp(\lambda [/mm] E)$ ist leicht zu berechnen, das weißt du hoffentlich. Und auch der zweite Faktor ist relativ leicht zu berechnen, da $D$ nilpotent ist. Du musst nur die ersten paar Potenzen von $D$ berechnen und erhältst dann recht schnell $0$. Die exponentialreihe ist also in diesem Fall nur eine überschaubare summe.
Über das thema kann man auch leicht ein kapitel schreiben, habe es hier aber aus zeit- und platzgründen sehr gekürzt.... 
VG
Matthias
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