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| Aufgabe | H5. Betrachten Sie für eine monoton wachsende Funktion $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] das Riemann-Integral
$F(x) := [mm] \int_{0}^{x}f(t)dt$
[/mm]
als Funktion der oberen Grenze.
a) Zeigen Sie:
[mm] $\qquad \lim_{h \searrow 0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h} [/mm] = f(x+), [mm] \qquad \lim_{h \searrow 0} \frac{F(x)-F(x-h)}{h} [/mm] = f(x-)$
b) Zeigen Sie, dass zu jeder abzählbaren Menge $A [mm] \subset \IR$ [/mm] eine auf [mm] $\IR$ [/mm] stetige, auf [mm] $\IR \setminus [/mm] A$ differenzierbare und in jedem Punkt von $A$ nicht differenzierbare Funktion $F: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] existiert. |
Kurz zur Erklärung. Dieses $f(x+)$ gehörte zur Übung und wurde wie folgt defniert:
$g(x+) := [mm] \lim_{\delta \searrow 0} g(x+\delta) [/mm] = g_+(x)$
$g(x-) := [mm] \lim_{\delta \searrow 0} g(x-\delta) [/mm] = g_-(x)$
Aufgabenteil a) war relativ einfach zu lösen. Unter zuhilfenahme des Mittelwertsatzes der Integralrechnung lässt sich das gut umformen und kürzen. Damit wär man auch schon fertig.
Das Problem liegt in b).
Da fehlt mir sogar der Ansatz. Beispiele basteln würde vielleicht noch klappen aber Beweis durch Beispiel geht ja nicht. :)
Ich hab gedacht es wäre vielleicht falsch und man müsse nen Gegenbeispiel finden. Dabei hab ich mich aber total verzettelt und schlussendlich den Faden verloren.
Bei mir scheitert es auch an der ordentlichen mathematischen Funktion von "Abzählbarkeit".
Kurzum ich weiß nicht weiter.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Liebe Grüße
André
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:05 Mo 30.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
nimm a) und dann auf A [mm] f(x-)\ne [/mm] f(x+)
das ist leicht auszudenken
Gruss leduart
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Das versteh ich nicht. Was meinst du denn damit? Soll ich doch nen Gegenbeispiel finden?
Wo steht denn das A abzählbar ist? Und wieso $f(x-) [mm] \neq [/mm] f(x+)$?
Das gilt doch augenscheinlich nur für nicht stetige Funktionen (im Punkt x). Wieso sollte sie dann aber in [mm] $\IR$ [/mm] stetig sein? Und wieso differenzierbar etc.?
Mit deiner Antwort kann ich leider nichts anfangen. Tut mir leid.
Gruß
Highchiller
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:15 Di 01.05.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
die nicht diffb aber stetige funktion hat absichtlich ein F, als Wink mit dem Zaunpfahl! denk an Teil a) der Aufgabe, da stehen eine links und rechtseiteger Differentialquotient. Riemanintegrierbar und monoton heisst nicht dass f stetig sein muss. Du musst doch überlegen, wie Teil b mit a vielleicht zusammenhängt
Gruss leduart
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Ahhh... oha.
Nur um sicher zu gehen. Da [mm] $\IR$ [/mm] überabzählbar enthält jede abzählbare Menge $A [mm] \subset \IR$ [/mm] zwischen jedem Element eine Definitionslücke (wenn man das so schreiben kann). Was dazu führt das F auf A nicht differenzierbar ist was sich wiederrum zeigen lässt mit a), nämlich mit besagtem $f(x+) [mm] \neq [/mm] f(x-)$
Den rest hattest du ja schon argumentiert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:25 Di 01.05.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Highchiller,
> Nur um sicher zu gehen. Da [mm]\IR[/mm] überabzählbar enthält
> jede abzählbare Menge [mm]A \subset \IR[/mm] zwischen jedem Element
> eine Definitionslücke (wenn man das so schreiben kann).
Nicht zwangsläufig: Betrachte etwa [mm] $A=\IQ$.
[/mm]
> Was dazu führt das F auf A nicht differenzierbar ist was
> sich wiederrum zeigen lässt mit a), nämlich mit besagtem
> [mm]f(x+) \neq f(x-)[/mm]
> Den rest hattest du ja schon
> argumentiert.
Da fehlen noch einige Argumente. Ich bin anders als leduart nicht der Meinung, dass die Konstruktion von $f$ leicht ist.
Gesucht ist ein [mm] $f\colon \IR\to\IR$ [/mm] mit folgenden Eigenschaften:
1. $f$ ist monoton wachsend
2. $f$ ist in allen Punkten [mm] $a\in [/mm] A$ nicht stetig
3. $f$ ist in allen Punkten [mm] $x\in\IR\setminus [/mm] A$ stetig
Dann betrachte die zugehörige Funktion $F$.
4. Zeige, dass $F$ stetig ist.
5. Folgere aus a), dass $F$ in allen Punkten aus [mm] $x\in\IR\setminus [/mm] A$ differenzierbar und in allen Punkten [mm] $a\in [/mm] A$ nicht differenzierbar ist.
Zur Konstruktion von $f$:
Sei [mm] $A=\{a_n\;|\;n\in\IN_0\}$. [/mm] Wir definieren für alle [mm] $n\in\IN_0$:
[/mm]
[mm] $f_n\colon\IR\to\IR,\quad f(x):=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x\le a_n \\ 1, & \mbox{für } x>a_n \end{cases}$.
[/mm]
Dann kann $f$ als [mm] $f:=\sum_{n=0}^\infty\frac1{2^n}f_n$ [/mm] gewählt werden.
Zu zeigen ist dann noch
0. $f$ ist wohldefiniert, d.h. die Reihe aus der Definition von $f$ konvergiert punktweise.
Viel Erfolg bei dieser nicht ganz einfachen Aufgabe!
Viele Grüße
Tobias
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