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Existenzkriterium Integral: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 21:27 Mo 15.08.2011
Autor: Harris

Aufgabe
Sei im Folgenden $J$ ein unbeschränktes Intervall der Form [mm] $(-\infty;a]$, $[a;\infty)$ [/mm] oder [mm] $\IR$. [/mm]

Satz:
Sei [mm] $f:J\rightarrow\IC$ [/mm] (oder [mm] $\IR$) [/mm] stetig. Gibt es ein [mm] $k\in\IR$, [/mm] $k>1$, so dass [mm] $t\rightarrow t^k\cdot|f(t)|$ [/mm] auf $J$ beschränkt ist, dann existiert das Integral [mm] $\int_Jf(t)dt$. [/mm]

Hi!
Ich bin gerade über dieses Existenzkriterium gestolpert. Hat das irgendeinen speziellen Namen? Wie kann man diesen Satz beweisen? Ich nehme an, irgendeine Abschätzung mit nem anderen Integral.


Und dann nochwas: Kann man das Integralvergleichskriterium (mit Reihen) irgendwie auf [mm] $\IC$ [/mm] übertragen?

Grüße, Harris

        
Bezug
Existenzkriterium Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:55 Mo 15.08.2011
Autor: felixf

Moin Harris!

> Sei im Folgenden [mm]J[/mm] ein unbeschränktes Intervall der Form
> [mm](-\infty;a][/mm], [mm][a;\infty)[/mm] oder [mm]\IR[/mm].
>  
> Satz:
>  Sei [mm]f:J\rightarrow\IC[/mm] (oder [mm]\IR[/mm]) stetig. Gibt es ein
> [mm]k\in\IR[/mm], [mm]k>1[/mm], so dass [mm]t\rightarrow t^k\cdot|f(t)|[/mm] auf [mm]J[/mm]
> beschränkt ist, dann existiert das Integral [mm]\int_Jf(t)dt[/mm].
>
>  Hi!
>  Ich bin gerade über dieses Existenzkriterium gestolpert.
> Hat das irgendeinen speziellen Namen? Wie kann man diesen
> Satz beweisen? Ich nehme an, irgendeine Abschätzung mit
> nem anderen Integral.

Das sollte sich mit dem Majorantenkriterium beweisen lassen, sowie damit dass das Integral ueber Teilintervalle existiert da $f$ stetig ist.

Ob es einen Namen fuer dieses Kriterium gibt weiss ich nicht...

> Und dann nochwas: Kann man das Integralvergleichskriterium
> (mit Reihen) irgendwie auf [mm]\IC[/mm] übertragen?

Auf eine gewisse Weise schon: wenn auf [mm] $\sum_{n=0}^\infty |a_n|$ [/mm] das Integralvergleichskriterium anwendbar ist und die Reihe demnach konvergiert, dann konvergiert natuerlich auch [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n$. [/mm]

Wenn das Integralvergleichskriterium sagt, dass [mm] $\sum_{n=0}^\infty |a_n|$ [/mm] nicht konvergiert, kann es immer noch sein dass [mm] $\sum a_n$ [/mm] konvergiert -- nur eben nicht absolut.

LG Felix


Bezug
        
Bezug
Existenzkriterium Integral: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:20 Mi 17.08.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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