Existenz von uneig. Integralen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:30 Mi 27.04.2005 | | Autor: | kluh |
Hallo Leute,
wir sollen die Existenz der folgenden uneigentlichen Integrale zeigen:
[mm] \integral_{1}^{\infty} {\bruch{sin(x)}{x^{s}} dx} [/mm] für s > 0
und
[mm] \integral_{0}^{\infty} {sin(x^{2}) dx}.
[/mm]
Habe schon versucht, mit partieller Integration oder mit Substitution weiter zu kommen, komme aber auf keinen grünen Zweig. Im Forum wurde gestern schon einmal eine ähnliche Frage gestellt, da ging es um die Stammfunktion von [mm] \integral {\bruch{sin(x)}{x} dx}. [/mm] Es wurde auch erklärt, dass man die Stammfunktion davon nicht explizit angeben kann. Leider weiß ich nicht, wie man die Existenz eines Integrals zeigen kann. Wäre schön, wenn mir jemand dazu ein paar Tipps sagen kann.
Diese Frage habe ich in keinem anderen Forum gestellt.
|
|
| |
|
Hallo!
Die Existenz des ersten Integrals kann man für $s>1$ durch die integrierbare Majorante [mm] $x^{-s}$ [/mm] zeigen. (Davon lässt sich leicht eine Stammfunktion bilden.)
Oft ist es sinnvoll, ein solches Integral durch eine Reihe abzuschätzen, aber weiter kann ich dir im Moment leider auch nicht helfen... ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Gruß, banachella
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:08 Mi 27.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Stefan,
also zum ersten Integral ist ja durch die Majortante alles gesagt. Ich habe mir überlegt, ob man evtl. da ja auch [mm] $\sin\left(x^2\right)$ [/mm] Vorzeichenwechsel hat, nicht das uneignetliche Integral als eine alternierende Nullfolge ansehen kann, ich meine:
[mm] $\int_0^{\infty} \sin\left(x^2\right) [/mm] dx = [mm] \sum_{k=0}^{\infty} \int_{\sqrt{\pi k}}^{\sqrt{\pi(k+1)}} \sin\left(x^2\right) [/mm] dx$
Dabei sind für gerade $k$ alle Summanden positiv, da in diesem Intervall [mm] $\sin\left(x^2\right)\ge [/mm] 0$ und für ungerade $k$ alle Summanden negativ.
Da die Differenz der der Nullstellen immer kleiner wird, wegen [mm] $\left(\sqrt{\pi(k+1)}-\sqrt{\pi k}\right)\to [/mm] 0$ für $k [mm] \to \infty$ [/mm] und [mm] $\left|\sin\left(x^2\right)\right|\le [/mm] 1$ handelt es sich auch um eine Nullfolge, also Konvergenz!
Gruß Max
|
|
|
|
