Existenz von Eigenwert < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:00 Do 25.08.2005 | | Autor: | panzer |
Hi!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hab folgendes Probelm, habe hier eine Matrix, die folgendermaßen aussieht
[mm] \pmat{ 0 & a \\ b & 0 }
[/mm]
Ich soll jetzt as und bs angeben für die es eigenvektoren und Eigenräume gibt, doch ich weiss nicht genau wie ich ansetzten soll. Habe es versucht mit der det ( A- k*e) = 0 , doch da ergibt sich das Problem,dass ich a und b nicht ausrechnen kann, denn ich brauch ja k. Wenn ich jetzt Werte gegebn hätte zu denen ich einen eigenraum und eigenwert ausrechnen müsste angegebn wären,dann wär das kein Problem, nur wie muss ich das jetzt hier machen?
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Hallo panzer,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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> [mm]\pmat{ 0 & a \\ b & 0 }[/mm]
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> Ich soll jetzt as und bs angeben für die es eigenvektoren
> und Eigenräume gibt, doch ich weiss nicht genau wie ich
> ansetzten soll. Habe es versucht mit der det ( A- k*e) = 0
> , doch da ergibt sich das Problem,dass ich a und b nicht
> ausrechnen kann, denn ich brauch ja k. Wenn ich jetzt Werte
> gegebn hätte zu denen ich einen eigenraum und eigenwert
> ausrechnen müsste angegebn wären,dann wär das kein Problem,
> nur wie muss ich das jetzt hier machen?
die Eigenwerte kannst Du trotzdem ausrechnen. Diese EWe sind dann von a und b abhängig.
Hast Du diese EWe bestimmt, so mußt Du für jeden EW eine entsprechenden Eigenvektor bestimmen.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Do 25.08.2005 | | Autor: | panzer |
Die aufgabenstellung lautet für welche a,b hat die Matrix eigenräume und Vektoren. Ist das dann immer noch dasselbe den Eigenvektor von a und b abhängig zu berechnen oder gäb es da noch ne andere Möglichkeit?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:45 Do 25.08.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo panzer!
Die Frage ist ja, für welche Werte $a$ und $b$ das charakteristische Polynom von $A$ mindestens eine Nullstelle besitzt.
Das charakteristische Polynom von $A$ lautet wie folgt:
[mm] $CP_A(t) [/mm] = [mm] t^2 [/mm] - ab$.
Dieses Polynom hat genau im Falle $ab [mm] \ge [/mm] 0$ mindestens eine Nullstelle.
Dies ist der Fall wenn [mm] $a\ge [/mm] 0$ und $b [mm] \ge [/mm] 0$ oder wenn $a [mm] \le [/mm] 0$ und $b [mm] \le [/mm] 0$.
Im Falle $ab=0$ ist [mm] $\lambda=0$ [/mm] ein Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit $2$, während im Falle $ab>0$ die beiden Eigenwerte [mm] $\lambda_1=\sqrt{ab}$ [/mm] und [mm] $\lambda_2 [/mm] = - [mm] \sqrt{ab}$ [/mm] lauten.
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:04 Do 25.08.2005 | | Autor: | panzer |
danke ich werds mal nach dem muster probieren.
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