Existenz von E-wert u. Varianz < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:30 Do 28.04.2011 | | Autor: | jboss |
| Aufgabe | | Es sei $X$ eine [mm] $\IN$-wertige [/mm] Zufallsvariable und $P(X [mm] \geq [/mm] k) = [mm] \frac{1}{k^2}$. [/mm] Zeige, dass der Erwartungswert von $X$ existiert und dass die Varianz nicht existiert. |
Hallo,
meine Idee zum Beweis der Existenz des Erwartungswertes:
Sei $X$ [mm] $\IN$-wertige [/mm] ZV mit $P(X [mm] \geq [/mm] k) = [mm] \frac{1}{k^2}$.
[/mm]
$$
E(X)
= [mm] \sum_{k=1}^{\infty}k \cdot [/mm] P(X = [mm] k)\\
[/mm]
= [mm] \sum_{k=1}^{\infty}k \cdot \left( P(X \geq k) - P(X > k)\right)\\
[/mm]
= [mm] \sum_{k=1}^{\infty}k \cdot \left( \frac{1}{k^2} - \frac{1}{(k+1)^2}\right)\\
[/mm]
= [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} [/mm] - [mm] \frac{1}{k+2+\frac{1}{k}}\\
[/mm]
[mm] \leq \underbrace{\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} - \frac{1}{k+3}}_{\text{Teleskopreihe}}\\
[/mm]
= [mm] \sum_{k=1}^{3} \frac{1}{k}\\
[/mm]
< [mm] \infty
[/mm]
$$
Findet jemand Fehler?
Zum Beweis der Nichtexistenz von $Var(X)$ genügt es ja zu zeigen, dass das zweite Moment [mm] $E(X^2)$ [/mm] nicht existiert. Hier wäre mein Ansatz genau der gleiche. Nur leider komme ich an einer Stelle nicht weiter:
$$
E(X)
= [mm] \sum_{k=1}^{\infty}k^2 \cdot [/mm] P(X = [mm] k)\\
[/mm]
= [mm] \sum_{k=1}^{\infty}k^2 \cdot \left( P(X \geq k) - P(X > k)\right)\\
[/mm]
= [mm] \sum_{k=1}^{\infty}k^2 \cdot \left( \frac{1}{k^2} - \frac{1}{(k+1)^2}\right)\\
[/mm]
= [mm] \sum_{k=1}^{\infty} [/mm] 1 - [mm] \frac{1}{1+\frac{1}{k} + \frac{1}{k^2}}\\
[/mm]
= [mm] \text{?}
[/mm]
$$
Bin für jede Hilfe dankbar!
Viele Grüße
jboss
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:43 Do 28.04.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo,
[mm]\sum_{k=1}^{\infty}k^2 \cdot \left( \frac{1}{k^2} - \frac{1}{(k+1)^2}\right)\\
=\sum_{k=1}^{\infty}k^2 \cdot \left(\frac{(k+1)^2-k^2}{(k+1)^2*k^2}\right)\\
=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(k+1)^2-k^2}{(k+1)^2}[/mm]
Nun: Minorantenkriterium. Z. B. harmonische Reihe verwenden.
Gruß
barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:34 Fr 29.04.2011 | | Autor: | jboss |
Ja klar! Brett vorm Kopf  Danke barsch!
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