Existenz uneigtl. Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:28 Di 23.10.2012 | | Autor: | BamPi |
| Aufgabe | Sei f: [mm] [0,\infty[ \to [0,\infty[ [/mm] eine monoton fallende Funktion mit [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x) = 0.
Exisitiert das uneigentliche Integral [mm] \integral_{0}^{\infty}{f(x)*sin(\pi*x) dx} [/mm] ? |
Hallo,
Ich soll beweisen ob das o.g. uneigentliche Integral existiert. (Als Hinweis ist das Leibniz-Kriterium angegeben).
Ich habe mir folgendes überlegt, weis jedoch nicht ob ich dies so machen kann da ich dazu relativ wenig gefunden habe.
[mm] \integral_{0}^{\infty}{f(x)*sin(\pi*x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\infty}{f(x)dx} *\integral_{0}^{\infty}{sin(\pi*x)dx}
[/mm]
Da ja mein f(x) eine monoton fallende Nullfolge ist, berechne ich nun
[mm] \integral_{0}^{k}{sin(\pi*x)dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\pi}-\bruch{cos(\pi*k)}{\pi}
[/mm]
und somit
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{1}{\pi}-\bruch{cos(\pi*k)}{\pi} [/mm] = undef. (alterniert zwischen 0 und [mm] \bruch{2}{\pi})
[/mm]
Somit würde das uneigentliche Integral nicht existieren. Ist das korrekt ?
Ist es per Leibnizkriterium noch anders zu lösen ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:32 Di 23.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei f: [mm][0,\infty[ \to [0,\infty[[/mm] eine monoton fallende
> Funktion mit [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] f(x) = 0.
>
> Exisitiert das uneigentliche Integral
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{f(x)*sin(\pi*x) dx}[/mm] ?
> Hallo,
>
> Ich soll beweisen ob das o.g. uneigentliche Integral
> existiert. (Als Hinweis ist das Leibniz-Kriterium
> angegeben).
>
> Ich habe mir folgendes überlegt, weis jedoch nicht ob ich
> dies so machen kann da ich dazu relativ wenig gefunden
> habe.
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{f(x)*sin(\pi*x) dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{f(x)dx} *\integral_{0}^{\infty}{sin(\pi*x)dx}[/mm]
Das ist völliger Unsinn ! Keine Regeln erfinden , die nicht stimmen !
>
> Da ja mein f(x) eine monoton fallende Nullfolge ist,
f ist keine Folge !
> berechne ich nun
> [mm]\integral_{0}^{k}{sin(\pi*x)dx}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\pi}-\bruch{cos(\pi*k)}{\pi}[/mm]
> und somit
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{1}{\pi}-\bruch{cos(\pi*k)}{\pi}[/mm]
> = undef. (alterniert zwischen 0 und [mm]\bruch{2}{\pi})[/mm]
>
> Somit würde das uneigentliche Integral nicht existieren.
> Ist das korrekt ?
> Ist es per Leibnizkriterium noch anders zu lösen ?
Schau mal hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Integralkriterium
FRED
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Vielen Dank
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:45 Di 23.10.2012 | | Autor: | BamPi |
Ich zeige also, dass
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} sin(\pi*n)*f(x) [/mm] konvergiert (was es nach Leibnizkriterium macht [gegen 0]) und somit existiert mein Integral ?
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Hallo BamPi,
> Ich zeige also, dass
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} sin(\pi*n)*f(x)[/mm] konvergiert (was es
> nach Leibnizkriterium macht [gegen 0]) und somit existiert
> mein Integral ?
Nach dieser Vorgehensweise würde z.B. auch [mm] \integral_{0}^{\infty}{\cos{(\pi*x)}*\bruch{1}{x}\ dx} [/mm] existieren. Tut es aber nicht. 
Überleg nochmal, was Du da tust. Es ist nicht ganz verkehrt, aber auch nicht vollständig.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 Mi 24.10.2012 | | Autor: | BamPi |
Naja, das f(x) gegen 0 geht für x [mm] \to \infty [/mm] und monoton fallend ist muss ich ja nichtmehr zeigen, das steht ja schon in der Aufgabenstellung. Irgendwie komme ich nicht darauf was noch fehlen könnte ? Nach Leibniz konvergiert die Reihe und laut Integralkriterium müsste also das Integral existieren ?
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Hallo nochmal,
> Naja, das f(x) gegen 0 geht für x [mm]\to \infty[/mm] und monoton
> fallend ist muss ich ja nichtmehr zeigen, das steht ja
> schon in der Aufgabenstellung. Irgendwie komme ich nicht
> darauf was noch fehlen könnte ? Nach Leibniz konvergiert
> die Reihe und laut Integralkriterium müsste also das
> Integral existieren ?
Es existiert ja auch, soweit ok.
Mein Gegenbeispiel mit [mm] \bruch{\cos{(\pi x)}}{x} [/mm] sollte nur auf das Problem hinweisen, dass die Untersuchung für [mm] x\to\infty [/mm] nicht ausreicht. Bei meinem Beispiel liegt das Problem bei [mm] x\to{0}.
[/mm]
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Do 25.10.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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