Existenz uneig. Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:02 Di 21.05.2013 | | Autor: | gpw |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass [mm] \integral_{0}^{\infty}{sin x^2 dx} [/mm] existiert. |
Hallo,
ich habe Probleme, zu zeigen das obiges Integral existiert. Ich weiß das ich mit dem Cauchy Kriterium für uneigentlich dies zeigen muss, weiß aber nicht wie ich es abschätzen soll.
Cauchy-Krit. für uneig. Integrale:
f [mm] \in [/mm] R[a,b] [mm] \gdw \forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0: | [mm] \integral_{a}^{b}{f(t) dt} [/mm] | < [mm] \epsilon [/mm] mit [mm] |c_{k} [/mm] - b | < [mm] \delta [/mm] (k = 1,2)
Meine Idee war bisher:
| [mm] \integral_{a}^{b}{sin x^2 dx} [/mm] | [mm] \le \integral_{a}^{b}{| sin x^2 dx} [/mm] | [mm] \le [/mm] | [mm] \integral_{a}^{b}{ 1 dx} [/mm] | = [mm] [x]^{b}_{a} [/mm] = b - a < [mm] \epsilon
[/mm]
Nur scheint mir diese Abschätzung, als hätte ich es mir zu leicht gemacht. Leider habe ich aber keine bessere Idee und zum Anderen weiß ich nicht, wie ich weitermachen muss um ein Delta zu konstruieren?
Viele Grüße
GPW
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:41 Di 21.05.2013 | | Autor: | fred97 |
schmeiß google an:
fresnelsche integrale.
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:22 Di 21.05.2013 | | Autor: | abakus |
> Zeigen Sie, dass [mm]\integral_{0}^{\infty}{sin x^2 dx}[/mm]
> existiert.
> Hallo,
> ich habe Probleme, zu zeigen das obiges Integral
> existiert. Ich weiß das ich mit dem Cauchy Kriterium für
> uneigentlich dies zeigen muss, weiß aber nicht wie ich es
> abschätzen soll.
>
> Cauchy-Krit. für uneig. Integrale:
>
> f [mm]\in[/mm] R[a,b] [mm]\gdw \forall \epsilon[/mm] > 0 [mm]\exists \delta[/mm] > 0:
> | [mm]\integral_{a}^{b}{f(t) dt}[/mm] | < [mm]\epsilon[/mm] mit [mm]|c_{k}[/mm] - b |
> < [mm]\delta[/mm] (k = 1,2)
>
> Meine Idee war bisher:
>
> | [mm]\integral_{a}^{b}{sin x^2 dx}[/mm] | [mm]\le \integral_{a}^{b}{| sin x^2 dx}[/mm]
> | [mm]\le[/mm] | [mm]\integral_{a}^{b}{ 1 dx}[/mm] | = [mm][x]^{b}_{a}[/mm] = b - a <
> [mm]\epsilon[/mm]
>
>
> Nur scheint mir diese Abschätzung, als hätte ich es mir
> zu leicht gemacht. Leider habe ich aber keine bessere Idee
> und zum Anderen weiß ich nicht, wie ich weitermachen muss
> um ein Delta zu konstruieren?
>
> Viele Grüße
> GPW
Hallo,
betrachte die Folge [mm]\integral_{0}^{\sqrt\pi}{sin x^2 dx}[/mm], [mm]\integral_{0}^{\sqrt{2\pi}}{sin x^2 dx}[/mm], [mm]\integral_{0}^{\sqrt{3\pi}}{sin x^2 dx}[/mm], [mm]\integral_{0}^{\sqrt{4\pi}}{sin x^2 dx}[/mm]...
und lege eine Gedenkminute für Herrn Leibniz ein.
Gruß Abakus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:55 Mi 22.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Zeigen Sie, dass [mm]\integral_{0}^{\infty}{sin x^2 dx}[/mm]
> >
> existiert.
> > Hallo,
> > ich habe Probleme, zu zeigen das obiges Integral
> > existiert. Ich weiß das ich mit dem Cauchy Kriterium
> für
> > uneigentlich dies zeigen muss, weiß aber nicht wie ich
> es
> > abschätzen soll.
> >
> > Cauchy-Krit. für uneig. Integrale:
> >
> > f [mm]\in[/mm] R[a,b] [mm]\gdw \forall \epsilon[/mm] > 0 [mm]\exists \delta[/mm] >
> 0:
> > | [mm]\integral_{a}^{b}{f(t) dt}[/mm] | < [mm]\epsilon[/mm] mit [mm]|c_{k}[/mm] - b
> |
> > < [mm]\delta[/mm] (k = 1,2)
> >
> > Meine Idee war bisher:
> >
> > | [mm]\integral_{a}^{b}{sin x^2 dx}[/mm] | [mm]\le \integral_{a}^{b}{| sin x^2 dx}[/mm]
>
> > | [mm]\le[/mm] | [mm]\integral_{a}^{b}{ 1 dx}[/mm] | = [mm][x]^{b}_{a}[/mm] = b - a <
> > [mm]\epsilon[/mm]
> >
> >
> > Nur scheint mir diese Abschätzung, als hätte ich es
> mir
> > zu leicht gemacht. Leider habe ich aber keine bessere
> Idee
> > und zum Anderen weiß ich nicht, wie ich weitermachen
> muss
> > um ein Delta zu konstruieren?
> >
> > Viele Grüße
> > GPW
> Hallo,
> betrachte die Folge [mm]\integral_{0}^{\sqrt\pi}{sin x^2 dx}[/mm], [mm]\integral_{0}^{\sqrt{2\pi}}{sin x^2 dx}[/mm], [mm]\integral_{0}^{\sqrt{3\pi}}{sin x^2 dx}[/mm], [mm]\integral_{0}^{\sqrt{4\pi}}{sin x^2 dx}[/mm]...
Hallo Abakus,
was das bringen soll, ist mir schleierhaft.
Ich kann definieren: F(t):= [mm] \integral_{0}^{\sqrt{t*\pi}}{sin x^2 dx} [/mm] für t>0.
Dann geht es um die Fage, ob der Grenzwert [mm] \limes_{t \rightarrow\infty}F(t) [/mm] ex. oder nicht.
Soviel sei verraten: er existiert.
Dafür reicht aber , das Untersuchen der Folge [mm] (F(n))_{n \in \IN} [/mm] nicht aus !
Gruß FRED
>
> und lege eine Gedenkminute für Herrn Leibniz ein.
> Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:29 Mi 22.05.2013 | | Autor: | abakus |
> > > Zeigen Sie, dass [mm]\integral_{0}^{\infty}{sin x^2 dx}[/mm]
> >
> >
> > existiert.
> > > Hallo,
> > > ich habe Probleme, zu zeigen das obiges Integral
> > > existiert. Ich weiß das ich mit dem Cauchy Kriterium
> > für
> > > uneigentlich dies zeigen muss, weiß aber nicht wie
> ich
> > es
> > > abschätzen soll.
> > >
> > > Cauchy-Krit. für uneig. Integrale:
> > >
> > > f [mm]\in[/mm] R[a,b] [mm]\gdw \forall \epsilon[/mm] > 0 [mm]\exists \delta[/mm]
> >
> > 0:
> > > | [mm]\integral_{a}^{b}{f(t) dt}[/mm] | < [mm]\epsilon[/mm] mit [mm]|c_{k}[/mm]
> - b
> > |
> > > < [mm]\delta[/mm] (k = 1,2)
> > >
> > > Meine Idee war bisher:
> > >
> > > | [mm]\integral_{a}^{b}{sin x^2 dx}[/mm] | [mm]\le \integral_{a}^{b}{| sin x^2 dx}[/mm]
>
> >
> > > | [mm]\le[/mm] | [mm]\integral_{a}^{b}{ 1 dx}[/mm] | = [mm][x]^{b}_{a}[/mm] = b - a <
> > > [mm]\epsilon[/mm]
> > >
> > >
> > > Nur scheint mir diese Abschätzung, als hätte ich es
> > mir
> > > zu leicht gemacht. Leider habe ich aber keine bessere
> > Idee
> > > und zum Anderen weiß ich nicht, wie ich weitermachen
> > muss
> > > um ein Delta zu konstruieren?
> > >
> > > Viele Grüße
> > > GPW
> > Hallo,
> > betrachte die Folge [mm]\integral_{0}^{\sqrt\pi}{sin x^2 dx}[/mm], [mm]\integral_{0}^{\sqrt{2\pi}}{sin x^2 dx}[/mm], [mm]\integral_{0}^{\sqrt{3\pi}}{sin x^2 dx}[/mm], [mm]\integral_{0}^{\sqrt{4\pi}}{sin x^2 dx}[/mm]...
>
> Hallo Abakus,
>
> was das bringen soll, ist mir schleierhaft.
Hallo,
meine Idee ist folgende: Die von Nullstelle zu Nullstelle neu hinzukommenden Flächenstücke
- sind abwechselnd oberhalb und unterhalb der x-Achse
- werden betragsmäßig immer kleiner und gehen gegen Null. Natürlich muss man hier noch etwas argumentieren, was die Werte zwischen den Nullstellen angeht.
Gruß Abakus
>
> Ich kann definieren: F(t):=
> [mm]\integral_{0}^{\sqrt{t*\pi}}{sin x^2 dx}[/mm] für t>0.
>
> Dann geht es um die Fage, ob der Grenzwert [mm]\limes_{t \rightarrow\infty}F(t)[/mm]
> ex. oder nicht.
>
> Soviel sei verraten: er existiert.
>
> Dafür reicht aber , das Untersuchen der Folge [mm](F(n))_{n \in \IN}[/mm]
> nicht aus !
>
> Gruß FRED
> >
> > und lege eine Gedenkminute für Herrn Leibniz ein.
> > Gruß Abakus
>
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