Existenz messbarer Abbildung < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | [mm] (\Omega_{i},\mathcal{A}_{i}) [/mm] seien Messräume für i=1,2.Und
[mm] (\Omega,\mathcal{A})=(\Omega_{1}\times\Omega_{2},\mathcal{A}_{1}\otimes\mathcal{A}_{2}) [/mm] der zugehörige Produktraum mit den Projektionen [mm] \pi_{i}:\Omega\to\Omega_{i} [/mm] für i=1,2 mit [mm] \omega=(\omega_{1},\omega_{2})\mapsto\omega_{i}.
[/mm]
Zeigen Sie: Für jeden Messraum [mm] (\mathcal{X},\mathcal{C}) [/mm] und für messbare Abbildungen [mm] g_{i}:\mathcal{X}\to\Omega_{i} [/mm] gibt es eine eindeutig bestimmte messbare Abbildung [mm] g:\mathcal{X}\to\Omega, [/mm] so das [mm] \pi_{i}\circ g=g_{i}. [/mm] |
Hallo
Ich finde bei obiger Aufgabe keinen geeigneten Ansatz.
Ich weiß wirklich nicht wie ich diese Abbildung g finden soll.
Habe mir ein Diagramm gezeichnet. Dieses g muss ich so wählen, dass jenes kommutiert. allerdings weiß ich bisher nicht wie ich das bewerkstelligen soll.
Gibt es vielleicht einen Satz oder ähnliches der mich hier retten könnte?
Bin für jede Hilfe dankbar.
Grüße Elvis
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:30 Mi 06.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Ich weiß wirklich nicht wie ich diese Abbildung g finden
> soll.
Du musst g so wählen, dass [m]\pi_i(g(x))=g_i(x)[/m] ist, und g muss ein x in das Produkt abbilden, also [m]g(x)=(x_1,x_2)[/m], sowie gilt [m]\pi_i( (x_1,x_2) ) = x_i [/m]. Wie sollte man also am besten die [m]x_i[/m] "setzen", damit es passt?
SEcki
|
|
|
| |
|
Hallo SEcki
ich habe mir gedacht für [mm] x\in\mathcal{X} [/mm] , [mm] $$g(x)=(g_{1}(x),g_{2}(x))$$ [/mm] zu setzen. die Meßbarkeit dieser Abbildung wäre klar.
Allerdings muss ich noch die Eindeutigkeit zeigen, was nicht trivial zu sein scheint.
Grüße Elvis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:08 Mi 06.05.2009 | | Autor: | pelzig |
Die Eindeutigkeit ist doch geschenkt, und hat überhaupt nichts mit der Messbarkeit zu tun. Gibt es ein h, dass auch die Eigensch. von g hat, so stimmen g und h in jeder Komponente überein, sind also gleich. Denk da nochmal drüber nach.
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
Hallo pelzig.
Das war auch das erste was mir durch den Kopf ging, allerdings erschien mir das zu einfach, so dass ich dachte etwas wichtiges übersehen zu haben.
Somit wäre diese Aufgabe allerdings trivial.
Kann jemand meine Verwirrung ausräumen?
Grüße Elvis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:28 Mi 06.05.2009 | | Autor: | pelzig |
Nun, warum ist denn die Messbarkeit dieser Abbildung [mm] g(x):=(g_1(x),g_2(x)) [/mm] klar?
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
Hallo Robert,
Die Meßbarkeit meinte ich nicht. Die ist klar. Mir ging es um die Eindeutigkeit.
Ich habe urpsprünglich genauso argumentiert wie du, dachte aber etwas übersehen zu haben weil es mir zu einfach erschien.
Aber es scheint ja in der Tat so einfach zu sein.
Grüße Elvis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:55 Do 07.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Die Meßbarkeit meinte ich nicht. Die ist klar.
Die ist als einziges nicht völlig klar, imo.
SEcki
|
|
|
|
