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| Aufgabe | Gibt es eine holomorphe Funktion [mm] $f:\quad B_1(0)\to\IC$, [/mm] welche die folgenden Bedingung erfüllt?
Für alle natürlichen Zahlen $k$ gilt:
[mm] $f(\bruch{1}{2k})=f(\bruch{1}{2k-1})=\bruch{1}{k}$
[/mm]
Außerdem soll ich die Entscheidung natürlich begründen. |
Hallo,
folgendes habe ich mir überlegt:
- zunächst einmal muss die Zahl $k=0$ ausgeschlossen werden, falls sie zu den natürlichen Zahlen gezählt wird
- dann habe ich versucht, ein Polynom 2. Grades, das die Bedingungen erfüllt. Ich erhalte nur eine Funktionenschar, und keine allgemeine Lösung für jedes k.
Ich vermute, dass es so eine Funktion aber auch gar nicht gibt?
Hat jemand einen Ansatz für mich, in welche Richtung ich denken soll? So eine ganz offene Frage "gibt es eine solche Funktion oder nicht" ist natürlich schwer... Danke für jeden Tipp.
Ich habe die Frage nirgendwo sonst gestellt und hoffe, dass es mit den Postings hier wieder klappt und ich nichts doppelt oder gar nicht abschicke...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:01 Fr 24.05.2024 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Gibt es eine holomorphe Funktion [mm]f:\quad B_1(0)\to\IC[/mm],
> welche die folgenden Bedingung erfüllt?
> Für alle natürlichen Zahlen [mm]k[/mm] gilt:
> [mm]f(\bruch{1}{2k})=f(\bruch{1}{2k-1})=\bruch{1}{k}[/mm]
>
>
> Hat jemand einen Ansatz für mich, in welche Richtung ich
> denken soll?
Aus den Angaben kannst du erst f(0) und dann auch f'(0) berechnen. Wenn du vermutest, daß es eine solche Funktion gar nicht gibt, könntest du dann nach einem Widerspruch suchen.
Gruß Dieter
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Hallo und danke für die schnelle Antwort.
Wie kann ich denn f(0) berechnen, wenn ich 0 gar nicht einsetzen darf (wegen Division durch null dann) und wenn ich gar nicht weiß, wie die Funktionsgleichung von f aussieht? (Die Funktion soll ich ja finden, falls es sie gibt)
Viele Grüße!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:50 Fr 24.05.2024 | | Autor: | statler |
Hey du!
> Wie kann ich denn f(0) berechnen, wenn ich 0 gar nicht
> einsetzen darf (wegen Division durch null dann) ...
Die gesuchte Funktion soll holomorph in [mm] $B_{1}(0)$ [/mm] sein, also ist sie da insbesondere stetig, also kannst du die Folgendefinition der Stetigkeit benutzen. k=0 einzusetzen geht natürlich nicht, in der Aufgabe fehlt mal wieder die Angabe, um welche k's es geht, also wo die natürlichen Zahlen anfangen (bei mir bei 1). Für f(0) müßtest du sowieso [mm] $\infty$ [/mm] als Wert von k einsetzen, das ist aber auch keine natürliche Zahl.
> und wenn
> ich gar nicht weiß, wie die Funktionsgleichung von f
> aussieht? (Die Funktion soll ich ja finden, falls es sie
> gibt)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 Fr 24.05.2024 | | Autor: | fred97 |
> Gibt es eine holomorphe Funktion [mm]f:\quad B_1(0)\to\IC[/mm],
> welche die folgenden Bedingung erfüllt?
> Für alle natürlichen Zahlen [mm]k[/mm] gilt:
> [mm]f(\bruch{1}{2k})=f(\bruch{1}{2k-1})=\bruch{1}{k}[/mm]
>
> Außerdem soll ich die Entscheidung natürlich begründen.
> Hallo,
> folgendes habe ich mir überlegt:
> - zunächst einmal muss die Zahl [mm]k=0[/mm] ausgeschlossen
> werden, falls sie zu den natürlichen Zahlen gezählt wird
> - dann habe ich versucht, ein Polynom 2. Grades, das die
> Bedingungen erfüllt. Ich erhalte nur eine Funktionenschar,
> und keine allgemeine Lösung für jedes k.
>
> Ich vermute, dass es so eine Funktion aber auch gar nicht
> gibt?
>
> Hat jemand einen Ansatz für mich, in welche Richtung ich
> denken soll? So eine ganz offene Frage "gibt es eine solche
> Funktion oder nicht" ist natürlich schwer... Danke für
> jeden Tipp.
>
> Ich habe die Frage nirgendwo sonst gestellt und hoffe, dass
> es mit den Postings hier wieder klappt und ich nichts
> doppelt oder gar nicht abschicke...
Betrachte die Funktion $f(z)=2z.$. Diese Funktion erfüllt $f(1/2k)=1/k$.
Der Identitätssatz sagt, daß es nur eine holomorphe Funktion gibt, welche diese Bedingung erfüllt.
Wir haben noch eine weitere Bedingung!!
Kommst Du damit weiter?
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