Existenz gerader Zahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:06 So 07.01.2007 | | Autor: | Zeta |
Hallo!
Ich möchte gerne die Existenz gerader und ungerader Zahlen mathematisch beweisen, nur fehlt mir dazu ein handfester Ansatz. Hat möglicherweise jemand von euch eine Idee wie man das angehen könnte? Vielleicht mit den Peano-Axiomen?
Gruss,
Zeta
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:01 So 07.01.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich denke, der sinnvollste Weg ist die vollständige Induktion.
Die Geraden Zahlen sind ja definiert, dass nan sie ohnen Rest durch 2 teilen kann.
Achtung, du musst auf [mm] \IZ [/mm] induzieren, also in zwei Richtungen.
Also ist der Ind-Anfang: z=2 und z=-2
Dass zwei durch 2 teilbar ist, und -2 ebenfalls sollte klar sein.
Dann I-vorauss. sein z durch 2 Teilbar.
Dann auch z+2 und z-2.
Mathematisch ausgedrückt: z modulo 2 ist wieder in [mm] \IZ
[/mm]
Dann ist auch z+2 modulo 2 und z-2 modulo 2 wieder in [mm] \IZ
[/mm]
[mm] (z\pm2)mod2=\underbrace{(zmod2)}_{nach I.V.\in\IZ}\pm(\underbrace{2mod2}_{offensichtlich\in\IZ}
[/mm]
Da alle anderen ungerade sind, solltest du fertig sein.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:31 So 07.01.2007 | | Autor: | Zeta |
Hallo,
danke, das hilft mir schon mal sehr! Ich möchte dies allerdings nur für positive gerade und ungerade Zahlen zeigen also in [mm] \IZ^+ [/mm] (sorry, hätte ich schreiben sollen).
Um vielleicht am Ende das "Da alle anderen ungerade sind, solltest du fertig sein" deutlicher zu machen könnte man doch auch schreiben
$ (z+1) $ ungleich $ mod2 $ , was dann alle ungeraden Zahlen sind.
Kann man das so schreiben?
Und noch eine Frage: Ich kannte die Modulorechnung bisher nur mit der Definition
$ a [mm] \equiv [/mm] b \ (mod \ m) [mm] :\Leftrightarrow [/mm] m~|~(a-b) $
z modulo 2 bedeutet ja dann "nur", dass z teilbar durch 2 ist, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:10 Di 09.01.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo,
>
> danke, das hilft mir schon mal sehr! Ich möchte dies
> allerdings nur für positive gerade und ungerade Zahlen
> zeigen also in [mm]\IZ^+[/mm] (sorry, hätte ich schreiben sollen).
>
> Um vielleicht am Ende das "Da alle anderen ungerade sind,
> solltest du fertig sein" deutlicher zu machen könnte man
> doch auch schreiben
>
> [mm](z+1)[/mm] ungleich [mm]mod2[/mm] , was dann alle ungeraden Zahlen sind.
Ich würde es so schreiben: Alle Zahlen die durch zwei ohne Rest teilbar sind sind gerade, also bleiben noh underade übrig.
> Kann man das so schreiben?
>
> Und noch eine Frage: Ich kannte die Modulorechnung bisher
> nur mit der Definition
>
> [mm]a \equiv b \ (mod \ m) :\Leftrightarrow m~|~(a-b)[/mm]
>
> z modulo 2 bedeutet ja dann "nur", dass z teilbar durch 2
> ist, oder?
a mod b = 0 bedeutet, b ist Teiler von a
Also (z+2)mod2
[mm] =\underbrace{zmod2}_{nach I.V.=0}+\underbrace{2mod2}_{=0}
[/mm]
=0
Das heisst, z+2 ist ohne Rest durch 2 teilbar.
Bsp.: 3mod2=1, denn 2(=3-1) ist durch zwei teilbar,
16mod4=0
17mod4=1
18mod4=2
19mod4=3
20mod4=0
101mod100=1
198mod100=98
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Mi 10.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
