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Forum "Integration" - Existenz eines Integrals
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Existenz eines Integrals: Prüfungsaufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:16 Do 22.01.2009
Autor: tomtomgo

Aufgabe
Begründen sie die Existenz des uneigentlichen Integrals
I=[mm]\int_{1/2}^{1}\bruch{dx}{\wurzel{1-x²}}[/mm]
und bestimmen sie die rationale Zahl I/[mm] \pi [/mm]

Hallo zusammen,
ich bitte kurz um Überprüfung ob mein Rechenweg richtig ist.

Ich habe zuerst die NST des Nenners berechnet x= +/- 1
So nun die Begründung

[mm]\lim_{n \to \+1}\bruch{1}{\wurzel{1-x²}}[/mm]

das geht nicht, da der Nenner gegen 0 geht und es somit 1/0 heißen würde - Daher L'Hospital anwenden

[mm]\lim_{n \to \+1}\bruch{0}{x(1-x²)^-1/2}[/mm]

- jetzt geht das ganze gegen 0

Das gleiche jetzt für -1

[mm]\lim_{n \to \-11}\bruch{1}{\wurzel{1-x²}}[/mm] wieder L'Hospital

[mm]\lim_{n \to \-1}\bruch{0}{x(1-x²)^-1/2}[/mm] - geht auch gegen 0

Damit ist die Funktion stetig und das Integral existiert.

I/ [mm] \pi [/mm]

Integral berechnen....
I=[arsin(x)] Grenzen: 1 und 1/2

I= 1/2 [mm] \pi [/mm] - 1/6 [mm] \pi [/mm] = 1/3 [mm] \pi [/mm]

I/[mm] \pi [/mm] = 1/3

Ich hoffe ich hab die Frage damit gelöst. Könnte das jemand bitte überprüfen.

Vielen Dank schon mal

        
Bezug
Existenz eines Integrals: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:32 Do 22.01.2009
Autor: fred97


> Begründen sie die Existenz des uneigentlichen Integrals
>  I=[mm]\int_{1/2}^{1}\bruch{dx}{\wurzel{1-x²}}[/mm]
>  und bestimmen sie die rationale Zahl I/[mm] \pi[/mm]
>  Hallo
> zusammen,
>  ich bitte kurz um Überprüfung ob mein Rechenweg richtig
> ist.
>  
> Ich habe zuerst die NST des Nenners berechnet x= +/- 1


Wobei -1 völlig uninteressant ist !



>  So nun die Begründung
>  
> [mm]\lim_{n \to \+1}\bruch{1}{\wurzel{1-x²}}[/mm]
>
> das geht nicht, da der Nenner gegen 0 geht und es somit 1/0
> heißen würde - Daher L'Hospital anwenden

Nein ! L'Hospital nur bei Ausdrücken der Form [mm] \bruch{0}{0} [/mm] oder [mm] \bruch{\infty}{\infty} [/mm]



>  
> [mm]\lim_{n \to \+1}\bruch{0}{x(1-x²)^-1/2}[/mm]
>
> - jetzt geht das ganze gegen 0
>  
> Das gleiche jetzt für -1


Siehe oben


>  
> [mm]\lim_{n \to \-11}\bruch{1}{\wurzel{1-x²}}[/mm] wieder
> L'Hospital
>  
> [mm]\lim_{n \to \-1}\bruch{0}{x(1-x²)^-1/2}[/mm] - geht auch gegen
> 0
>  
> Damit ist die Funktion stetig und das Integral existiert.


Das hast Du nicht gezeigt !



>  
> I/ [mm]\pi[/mm]
>  
> Integral berechnen....
>  I=[arsin(x)] Grenzen: 1 und 1/2
>  
> I= 1/2 [mm]\pi[/mm] - 1/6 [mm]\pi[/mm] = 1/3 [mm]\pi[/mm]
>  
> I/[mm] \pi[/mm] = 1/3

Das ist einigermaßen O.K.

Besser wäre: berechne für 1/2<a<1 das integral
   $ [mm] \int_{1/2}^{a}\bruch{dx}{\wurzel{1-x²}} [/mm] $,

und schaue nach ob der Grenzwert
[mm] $\limes_{a\rightarrow 1} \int_{1/2}^{a}\bruch{dx}{\wurzel{1-x²}} [/mm] $

existiert. Wenn ja, hast Du die Ex. des uneig. Integrals gezeigt und der Grenzwert ist der Wert des Integrals.


FRED



>  
> Ich hoffe ich hab die Frage damit gelöst. Könnte das jemand
> bitte überprüfen.
>  
> Vielen Dank schon mal


Bezug
                
Bezug
Existenz eines Integrals: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:54 Do 22.01.2009
Autor: tomtomgo

Das heißt ich muss als erstes das Integral berechnen
also
I= [arcsin (x)] Grenzen a und 1/2
I= arcsin (a) - arcsin (1/2)

und dann

I=[mm]\lim_{a \to 1} arcsin (a) - arcsin (1/2)[/mm] = geht gegen 1/3 [mm]\pi[/mm]

so richtig?

Bezug
                        
Bezug
Existenz eines Integrals: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:56 Do 22.01.2009
Autor: fred97

Ja

FRED

Bezug
                                
Bezug
Existenz eines Integrals: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:09 Do 22.01.2009
Autor: tomtomgo

Dankeschön

Bezug
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