Existenz eines Dreiecks < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:43 Do 20.03.2014 | | Autor: | rekees |
| Aufgabe | | Zeigen sie dass zu reellen Zahlen x,y und z mit 0 < x [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] z und z < x+y ein Dreieck mit den Seitenlängen x, y und z existiert. |
Ich habe gerade nicht wirklich Ahnung für nen Ansatz und stochere im Dunkeln.
Kann ich hier mit dem Satz des Pythagoras oder etwas ähnlichem arbeiten?
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Hallo,
> Zeigen sie dass zu reellen Zahlen x,y und z mit 0 < x [mm]\le[/mm]
> y [mm]\le[/mm] z und z < x+y ein Dreieck mit den Seitenlängen x, y
> und z existiert.
> Ich habe gerade nicht wirklich Ahnung für nen Ansatz und
> stochere im Dunkeln.
> Kann ich hier mit dem Satz des Pythagoras oder etwas
> ähnlichem arbeiten?
Viel einfacher: das kann man unmittelbar mit der Dreiecksungleichung begründen, es steht im Prinzip alles Notwendige schon da!
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:55 Fr 21.03.2014 | | Autor: | rekees |
Hi,
also als Dreiecksungleichung wäre das ja: z [mm] \le [/mm] x+y
Meine Voraussetzungen sind 0< x [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] z und z < x+y
Da an dieser Stelle das [mm] \le [/mm] fehlt habe ich ja fast! die Dreiecksungleichung.
Kann ich dann einfach sagen, dass es sich hier um eine verschärfte Form der Dreiecksungleichung handelt und da diese schon bewiesen ist, habe ich hier ein Dreiecke?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:21 Fr 21.03.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo rekees!
Die Aufgabe hängt stark davon ab, was man schon als bekannt voraussetzen darf. Ich vermute im Gegensatz zu Diophant, dass ein Zusammenhang zwischen irgendwelchen Dreiecksungleichungen und Existenz von Dreiecken noch nicht als bereits bekannt vorausgesetzt werden darf.
(Würde es in den Voraussetzungen nur [mm] $z\le [/mm] x+y$ statt $z<x+y$ heißen, müsste es übrigens kein "echtes" Dreieck mit den vorgegebenen Seitenlängen geben.)
Ich schlage folgende Grundidee vor (die Details habe ich mir zugegebenermaßen selbst noch nicht vollständig überlegt):
Wir wählen eine beliebige Strecke [mm] $\overline{AB}$ [/mm] der Länge $z$.
Dann ziehen wir um $A$ einen Kreis [mm] $K_A$ [/mm] vom Radius $x$ und um $B$ einen Kreis [mm] $K_B$ [/mm] vom Radius $y$.
Nun beweisen wir mithilfe der Voraussetzungen, dass [mm] $K_A$ [/mm] und [mm] $K_B$ [/mm] sich schneiden.
Wir wählen einen Schnittpunkt $C$ von [mm] $K_A$ [/mm] und [mm] $K_B$.
[/mm]
Schließlich beweisen wir, dass die Punkte $A$, $B$ und $C$ Eckpunkte eines Dreiecks (mit den gewünschten Seitenlängen) sind.
Fertige dir auf jeden Fall eine Skizze zu dieser Konstruktion an!
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:37 Sa 22.03.2014 | | Autor: | rekees |
Danke, werde mir den Kopf daran zerbrechen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:46 Sa 22.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Danke, werde mir den Kopf daran zerbrechen.
das kann höchstens dann passieren, wenn du zu viel über die Dreiecksungleichung nachdenkst. Die hat nämlich mit dieser Aufgabe gar nichts zu tun. (Und das nicht nur deshalb nicht, weil sowieso alle Zahlen x,y,z positiv sind)
Aus den drei Stücken lässt sich genau dann ein Dreieck legen, wenn jedes einzelne Stück kürzer ist als die Summe der beiden anderen.
Für z ist das bereits vorausgesetzt, für x und y folgt das leicht aus den Eigenschaften der <-Relation und ihrer Verträglichkeit mit der Addition, wenn du alle Voraussetzungen geeignet einsetzt.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:00 So 23.03.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo Sax,
> das kann höchstens dann passieren, wenn du zu viel über
> die Dreiecksungleichung nachdenkst. Die hat nämlich mit
> dieser Aufgabe gar nichts zu tun. (Und das nicht nur
> deshalb nicht, weil sowieso alle Zahlen x,y,z positiv
> sind)
Wieso nicht?
>
> Aus den drei Stücken lässt sich genau dann ein Dreieck
> legen, wenn jedes einzelne Stück kürzer ist als die Summe
> der beiden anderen.
Und was ist das anderes, als dass die Dreiecksungleichung für jede mögliche Belegung mit den drei Seitenlängen gilt?
> Für z ist das bereits vorausgesetzt, für x und y folgt
> das leicht aus den Eigenschaften der <-Relation und ihrer
> Verträglichkeit mit der Addition, wenn du alle
> Voraussetzungen geeignet einsetzt.
Ja, genau so hatte ich das ja auch gemeint. Könntest du aber mal noch erläutern, weshalb das deiner Ansicht nach nichts mit der Dreiecksungleichung zu tun haben soll, ich finde das ehrlich gesagt leicht verwirrend?
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:32 So 23.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Hallo Sax,
>
> > das kann höchstens dann passieren, wenn du zu viel über
> > die Dreiecksungleichung nachdenkst. Die hat nämlich
> mit
> > dieser Aufgabe gar nichts zu tun. (Und das nicht nur
> > deshalb nicht, weil sowieso alle Zahlen x,y,z positiv
> > sind)
>
> Wieso nicht?
Weil ich in " x + y = x + y " eher eine Trivialität als die Dreiecksungleichung erkenne.
>
> >
> > Aus den drei Stücken lässt sich genau dann ein
> Dreieck
> > legen, wenn jedes einzelne Stück kürzer ist als die
> Summe
> > der beiden anderen.
>
> Und was ist das anderes, als dass die Dreiecksungleichung
> für jede mögliche Belegung mit den drei Seitenlängen
> gilt?
>
> > Für z ist das bereits vorausgesetzt, für x und y folgt
> > das leicht aus den Eigenschaften der <-Relation und
> ihrer
> > Verträglichkeit mit der Addition, wenn du alle
> > Voraussetzungen geeignet einsetzt.
>
> Ja, genau so hatte ich das ja auch gemeint. Könntest du
> aber mal noch erläutern, weshalb das deiner Ansicht nach
> nichts mit der Dreiecksungleichung zu tun haben soll, ich
> finde das ehrlich gesagt leicht verwirrend?
>
> Gruß, Diophant
>
>
Aus der Voraussetzung $ [mm] 0
und aus der Voraussetzung $ [mm] 0
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:15 So 23.03.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen!
Unabhängig von der Frage, ob man nun von Dreiecksungleichungen sprechen sollte oder nicht:
> Aus den drei Stücken lässt sich genau dann ein Dreieck
> legen, wenn jedes einzelne Stück kürzer ist als die Summe
> der beiden anderen.
Wenn dieser Zusammenhang (für Stücke positiver Länge) bereits bekannt ist, ist Diophants und Sax' Weg natürlich der bessere.
Um diesen Zusammenhang zu begründen, ist wohl eine Konstruktion vergleichbar mit meiner erforderlich.
Viele Grüße
Tobias
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