Existenz einer Lösung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Differentialgleichung [mm] y^{'}=\bruch{x}{1+y^{2}x^{2}} [/mm] mit y(0)=0 eine Lösung besitz. Bestimmen Sie auf dem Intervall [-R,R] R>0 eine geiegnete Abschätzung für diese Lösung. |
Habe diese Aufgabe versucht zu lösen. Mit Existenz hat es meiner Meinung nach geklappt. So habe ich überlegt:
Sei [mm] |x|\le [/mm] a, [mm] |y|\le [/mm] b
Die Funktion f(x)= [mm] \bruch{x}{1+y^{2}x^{2}} [/mm] ist stetig und es gilt [mm] |f(x)|\le [/mm] a,
die Ableitung [mm] f_{y}(x) [/mm] ist auch stetig und [mm] |f_{y}(x)|\le a(1+2ab^{2})
[/mm]
Dann Existiert eine Lösung (genau eine) von diese Gleiching mit y(0)=0. (nach dem Existenzsatz)
Mit der Abschätzung klappt es nicht. Bitte um Hilfe.
|
|
| |
|
Hallo,
> Zeigen Sie, dass die Differentialgleichung
> [mm]y^{'}=\bruch{x}{1+y^{2}x^{2}}[/mm] mit y(0)=0 eine Lösung
> besitz. Bestimmen Sie auf dem Intervall [-R,R] R>0 eine
> geiegnete Abschätzung für diese Lösung.
> Habe diese Aufgabe versucht zu lösen. Mit Existenz hat es
> meiner Meinung nach geklappt. So habe ich überlegt:
>
> Sei [mm]|x|\le[/mm] a, [mm]|y|\le[/mm] b
> Die Funktion f(x)= [mm]\bruch{x}{1+y^{2}x^{2}}[/mm] ist stetig und
> es gilt [mm]|f(x)|\le[/mm] a,
> die Ableitung [mm]f_{y}(x)[/mm] ist auch stetig und [mm]|f_{y}(x)|\le a(1+2ab^{2})[/mm]
>
> Dann Existiert eine Lösung (genau eine) von diese Gleiching
> mit y(0)=0. (nach dem Existenzsatz)
Welchen Satz wendest du hier an? peano, picard-lindeloef? ist mir nicht ganz klar, was du hier machst.
>
> Mit der Abschätzung klappt es nicht. Bitte um Hilfe.
also, du hast
[mm]y'=\bruch{x}{1+y^2 x^2}[/mm]
fuer abschaetzungen der loesung sind abschaetzungen der ableitung essentiell. ueberleg mal, ob du irgendwie
[mm] $|y'|\le [/mm] C$ auf $[-R,R]$
begruenden kannst. dann ist der rest auch nicht mehr schwer, du hast doch
[mm] $y(x)-y(0)=\int_0^x [/mm] y'$.
also auch
[mm] $|y(x)|\le [/mm] |y(0)|+ [mm] \left| \int_0^x y' \right|$.
[/mm]
Kommst du jetzt weiter?
VG
matthias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:56 Mi 11.07.2007 | | Autor: | motormons |
Also, wenn f(x,y) stetig ist, dann existiert eine Lösung der Gleichung [mm] y^{/}=f(x,y)
[/mm]
weiter, wenn die Funktion Lipschitz-Bedingung erfüllt, dann existiert genau eine Lösung. Anstatt Lipschitz kann man auch die stetigkeit der Ableitung der Funktion nach y nachweisen (ist äqivalent).
Mit Abschätzung: [mm] |f(x,y)|\le |x|\le [/mm] R
bekomme ich |y(x)| [mm] \le R^{2}
[/mm]
|
|
|
|
