Existenz Uneigentliches Integ. < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:02 Mo 21.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | Existiert das folgende uneigentliche Integral?
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{ln(x)}{x} dx} [/mm] |
Guten Morgen,
bei dieser Aufgabe habe ich leider Schwierigkeiten.
Ich weiß gar nicht wie ich hier vorgehen soll... Habe bis jetzt nur das:
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{ln(x)}{x} dx} [/mm] = [mm] \limes_{r\rightarrow 0} \integral_{a}^{1}{\bruch{ln(x)}{x} dx} [/mm] mit a > 0.
Wie geht man hier weiter vor? Würde mich über einen Tipp freuen.
LG Loriot95
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Hallo Loriot,
> Existiert das folgende uneigentliche Integral?
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> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{ln(x)}{x} dx}[/mm]
> Guten Morgen,
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> bei dieser Aufgabe habe ich leider Schwierigkeiten.
> Ich weiß gar nicht wie ich hier vorgehen soll... Habe bis
> jetzt nur das:
>
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{ln(x)}{x} dx}[/mm] =
> [mm]\limes_{\red{a}\rightarrow 0} \integral_{a}^{1}{\bruch{ln(x)}{x} dx}[/mm]
> mit a > 0.
>
> Wie geht man hier weiter vor? Würde mich über einen Tipp
> freuen.
Lass dich von dem Grenzwert nicht abschrecken und löse das Integral [mm] \integral_{a}^{1}{\bruch{ln(x)}{x} dx} [/mm] so, als ob es ein eigentliches Integral wäre. Anschließend versuche, den Grenzwert zu bilden.
Substituiere z.B. [mm] u:=\ln(x) [/mm] oder rate geschickt.
>
> LG Loriot95
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:25 Mo 21.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Hm ok. Also sei u:= ln(x) [mm] \Rightarrow \bruch{du}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x} \Rightarrow [/mm] x du = dx [mm] \Rightarrow [/mm]
[mm] \limes_{a\rightarrow 0} \integral_{a}^{1}{\bruch{ln(x)}{x} dx} [/mm] = [mm] \limes_{a\rightarrow 0} \integral_{a}^{1}{u du}= [/mm]
[mm] \limes_{a\rightarrow 0} [\bruch{u^{2}}{2}]_{a}^{1} [/mm] =
[mm] \limes_{a\rightarrow 0} [\bruch{ln(x)^{2}}{2}]_{a}^{1}
[/mm]
= [mm] \limes_{a\rightarrow 0} (-\bruch{ln(a)}{2})
[/mm]
Ab hier weiß ich nun nicht weiter. Stimmt das denn alles soweit?
LG Loriot95
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> Hm ok. Also sei u:= ln(x) [mm]\Rightarrow \bruch{du}{dx}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{x} \Rightarrow[/mm] x du = dx [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]\limes_{a\rightarrow 0} \integral_{a}^{1}{\bruch{ln(x)}{x} dx}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{a}^{1}{u du}=[/mm]
> [mm]\limes_{a\rightarrow 0} [\bruch{u^{2}}{2}]_{a}^{1}[/mm] =
> [mm]\limes_{a\rightarrow 0} [\bruch{ln(x)^{2}}{2}]_{a}^{1}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{a\rightarrow 0} (-\bruch{ln(a)\red{^2}}{2})[/mm]
>
> Ab hier weiß ich nun nicht weiter. Stimmt das denn alles soweit?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Der Grenzwert existiert fü [mm] a\to0 [/mm] existiert offensichtlich nicht und das ist ein Problem (welches?).
>
> LG Loriot95
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:33 Mo 21.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
> Der Grenzwert existiert fü [mm]a\to0[/mm] existiert offensichtlich
> nicht und das ist ein Problem (welches?).
Na dann existiert das gesamte Integral nicht. Aber reicht das denn als Beweis?
> > LG Loriot95
> LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:35 Mo 21.03.2011 | | Autor: | fred97 |
>
> > Der Grenzwert existiert fü [mm]a\to0[/mm] existiert offensichtlich
> > nicht und das ist ein Problem (welches?).
> Na dann existiert das gesamte Integral nicht. Aber reicht
> das denn als Beweis?
Ja
FRED
> > > LG Loriot95
> > LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:36 Mo 21.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Oh ok. Dann vielen Dank an euch. :)
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