Exakte Sequenzen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:47 Fr 25.10.2013 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | Betrachte folgende exakte Sequenzen:
(i) [mm] $0\to \IZ/3\IZ \to [/mm] G [mm] \to \IZ/2\IZ \to \IZ \overset{\alpha}{\to} \IZ \to [/mm] 0$
(ii) $0 [mm] \to [/mm] G [mm] \to \IZ \overset{\alpha}{\to} \IZ \to \IZ/2\IZ \to [/mm] 0$
Was kann über die Gruppe $G$ und den Homomorphismus [mm] $\alpha$ [/mm] ausgesagt werden. |
(i) Zunächst muss [mm] $\IZ/2\IZ \to \IZ$ [/mm] die Nullabbildung sein, da [mm] $\IZ$ [/mm] kein Element der Ordnung zwei enthält. Damit zerfällt die Sequenz in [mm] $0\to \IZ/3\IZ \to [/mm] G [mm] \to \IZ/2\IZ \to [/mm] 0$ und $0 [mm] \to \IZ\overset{\alpha}{\to} \IZ \to [/mm] 0$. Also ist $G$ ein semidirektes Produkt aus [mm] $\IZ/3\IZ$ [/mm] und [mm] $\IZ/2\IZ$, [/mm] also entweder [mm] $\IZ/3\IZ \times \IZ/2\IZ$ [/mm] oder [mm] $S_3$. $\alpha$ [/mm] muss die Identität sein.
(ii) [mm] $\IZ \to \IZ/2\IZ$ [/mm] ist surjektiv, also die kanonische Surjektion. Der Kern ist damit [mm] $2\IZ$, [/mm] also ist [mm] $\alpha:\IZ\to\IZ, z\mapsto [/mm] 2z$. Also [mm] $ker(\alpha)=0$, [/mm] womit [mm] $im(G\to\IZ)=0$. [/mm] Da [mm] $G\to \IZ$ [/mm] auch injektiv sein muss, ist $G$ trivial.
Stimmt das so? Danke!
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 Fr 25.10.2013 | | Autor: | Lippel |
Danke! Ich vermute, dass ich im ersten Fall [mm] $\alpha:\IZ\to\IZ, z\mapsto [/mm] -z$ und im zweiten Fall [mm] $\alpha:\IZ\to\IZ, z\mapsto [/mm] -2z$ vergessen habe. Stimmt das?
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:11 Sa 26.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Lippel!
> Danke! Ich vermute, dass ich im ersten Fall
> [mm]\alpha:\IZ\to\IZ, z\mapsto -z[/mm] und im zweiten Fall
> [mm]\alpha:\IZ\to\IZ, z\mapsto -2z[/mm] vergessen habe. Stimmt das?
Ja.
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
