Ex. Lösung Anfangswertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Lösung des Anfangswertproblems [mm] $$u'=t^2+e^{-(u(t))^2}, \qquad [/mm] u(0)=0$$ für [mm] $t\in [0,\frac{1}{2}]$ [/mm] existiert und in diesem Intervall der Ungleichung [mm] $|u(t)|\leq [/mm] 1 genügt. |
Guten Abend zusammen,
ich sitze gerade an oben stehender Aufgabe und weiß nicht genau, wie ich hier anfangen soll, beziehungsweise wie ich zeigen soll, dass die Lösung im gegeben Intervall existiert.
Ich wäre seht dankbar, wenn mir hier jemand einen Tipp geben könnte um mir auf die Sprünge zu helfen.
Ich habe mit überlegt, ob ich die DGL nicht einfach in die Form:
[mm] $u(t)=\sqrt{-\ln{(u'(t)-t^2)}}$ [/mm] bringen kann.
Aber hilft mir das hier?
Vielen Dank
Liebe Grüße
Dudi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:03 Di 13.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. die Behauptung [mm] |u|\le1 [/mm] ist falsch, u(0)=1 u'(0)>0 also ist u bei 0 steigend.
ist das die richtige Aufgabe?
zur Existenz: da ist nicht verlangt sie zu lösen, sondern einen Satz zur Existenz zu benutzen, den ihr sichr grade behandelt habt. Piccard-Lindelöf sagt dir was?
deine Umformung bringt nichts.
Gruss leduart
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> Hallo
Guten Abend leduart und vielen Dank für deine schnelle Antwort zu so später Stund.
> 1. die Behauptung [mm]|u|\le1[/mm] ist falsch, u(0)=1 u'(0)>0 also
> ist u bei 0 steigend.
> ist das die richtige Aufgabe?
Ich habe es gerade nochmal mit meinem Aufgabenblatt verglichen.
Hier steht eindeutig [mm] $|u(t)|\leq [/mm] 1$. Aber wäre nicht das erste mal, dass sich bei den Übungsblättern ein Fehler einschleicht.
> zur Existenz: da ist nicht verlangt sie zu lösen, sondern
> einen Satz zur Existenz zu benutzen, den ihr sichr grade
> behandelt habt. Piccard-Lindelöf sagt dir was?
Natürlich. Dieser sagt mir natürlich was. :)
Dann müsste ich hier erst zeigen, dass die Lipschitz-Bedingung erfüllt ist?
> deine Umformung bringt nichts.
> Gruss leduart
Liebe Grüße
Dudi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:24 Di 13.11.2012 | | Autor: | leduart |
hallo
ja Lipschitz für [mm] e^{-u^2}
[/mm]
und die fkt steigt starker als [mm] 1/3t^3, [/mm] da ja [mm] e^{-u^2}>0 [/mm] für alle u
für [mm] u'=t^2-e^{-u^2} [/mm] stimmt übrigens die Behauptung, anfangs wegen u'(0)<0
Gruss leduart
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> hallo
> ja Lipschitz für [mm]e^{-u^2}[/mm]
Okay, d.h. ich muss hier zeigen:
Für [mm] $f(t,u):=u'(t)=t^2+e^{-(u(t))^2}$:
[/mm]
[mm] $$|f(t,u_1)-f(t,u_2)|\leq [/mm] L* [mm] |u_1-u_2|\qquad L\ge [/mm] 0$$ [mm] $$\Rightarrow |f(t,u_1)-f(t,u_2)|=|e^{-(u_1)^2}-e^{-(u_2)^2}|$$
[/mm]
Muss ich hier dann nach oben abschätzen?
> und die fkt steigt starker als [mm]1/3t^3,[/mm] da ja [mm]e^{-u^2}>0[/mm]
Das hier verstehe ich nicht ganz.
Also, dass die Fkt. stetig ist, denke ich, sehe ich. [mm] ($t^2$ [/mm] stetig und [mm] $e^{-(u)^2}$ [/mm] stetig).
> für alle u
> Gruss leduart
Liebe Grüße
Dudi
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> > hallo
> > ja Lipschitz für [mm]e^{-u^2}[/mm]
>
> Okay, d.h. ich muss hier zeigen:
> Für [mm]f(t,u):=u'(t)=t^2+e^{-(u(t))^2}[/mm]:
> [mm]|f(t,u_1)-f(t,u_2)|\leq L* |u_1-u_2|\qquad L\ge 0[/mm]
> [mm]\Rightarrow |f(t,u_1)-f(t,u_2)|=|e^{-(u_1)^2}-e^{-(u_2)^2}|[/mm]
>
> Muss ich hier dann nach oben abschätzen?
>
Ich hätte folgende Idee:
Da gilt: [mm] $e^x\leq \frac{1}{1-x}$ [/mm] folgt:
[mm] $e^{-(u)^2}\leq \frac{1}{1+u^2}$ $$\Rightarrow |f(t,u_1)-f(t,u_2)|=|e^{-(u_1)^2}-e^{-(u_2)^2}|\leq [/mm] | [mm] \frac{1}{1+(u_1)^2}- \frac{1}{1+(u_2)^2}|$$
[/mm]
> > und die fkt steigt starker als [mm]1/3t^3,[/mm] da ja [mm]e^{-u^2}>0[/mm]
> Das hier verstehe ich nicht ganz.
> Also, dass die Fkt. stetig ist, denke ich, sehe ich. ([mm]t^2[/mm]
> stetig und [mm]e^{-(u)^2}[/mm] stetig).
>
> > für alle u
> > Gruss leduart
>
> Liebe Grüße
> Dudi
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:18 Di 13.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
> > > hallo
> > > ja Lipschitz für [mm]e^{-u^2}[/mm]
> >
> > Okay, d.h. ich muss hier zeigen:
> > Für [mm]f(t,u):=u'(t)=t^2+e^{-(u(t))^2}[/mm]:
> > [mm]|f(t,u_1)-f(t,u_2)|\leq L* |u_1-u_2|\qquad L\ge 0[/mm]
> > [mm]\Rightarrow |f(t,u_1)-f(t,u_2)|=|e^{-(u_1)^2}-e^{-(u_2)^2}|[/mm]
>
> >
> > Muss ich hier dann nach oben abschätzen?
> >
> Ich hätte folgende Idee:
> Da gilt: [mm]e^x\leq \frac{1}{1-x}[/mm] folgt:
wie kommst du darauf? es gilt sicher nur für x<1
[mm] e^x [/mm] und [mm] e^{-x} [/mm] >0 [mm] \frac{1}{1-x}<0 [/mm] für x>1
> [mm]$e^{-(u)^2}\leq \frac{1}{1+u^2}$[/mm]
Diese Abschätzung gilt!
>[mm]\Rightarrow |f(t,u_1)-f(t,u_2)|=|e^{-(u_1)^2}-e^{-(u_2)^2}|\leq | \frac{1}{1+(u_1)^2}- \frac{1}{1+(u_2)^2}|[/mm]
wie findest du nun dein L? ich seh nicht wie das einfacher ist. aber es ist richtig.
> > > und die fkt steigt starker als [mm]1/3t^3,[/mm] da ja [mm]e^{-u^2}>0[/mm]
> > Das hier verstehe ich nicht ganz.
> > Also, dass die Fkt. stetig ist, denke ich, sehe ich.
> ([mm]t^2[/mm]
> > stetig und [mm]e^{-(u)^2}[/mm] stetig).
> >
> > > für alle u
> > > Gruss leduart
> >
> > Liebe Grüße
> > Dudi
> >
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:02 Di 13.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst ein L finden das ist am leichtesten mit der Ableitung.
in dem betrachteten Gebiet.
und zu dem Steigen der fkt.
aus [mm] u'=t^2 [/mm] folgt [mm] u=t^3/3+C [/mm] aber es gilt für u': [mm] u'>t^2 [/mm] da [mm] e^{-u^2}>0 [/mm] d.h. die Funktion mit u(0)=1 steigt für alle t, das heisst sie wird von t=0 an immer größer.
hast du kontrolliert, ob da nicht vielleicht [mm] u'=t^2-e^{-t^2} [/mm] steht?
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> Hallo
> du musst ein L finden das ist am leichtesten mit der
> Ableitung.
> in dem betrachteten Gebiet.
Ja, dieses L versuche ich gerade zu finden.
Jedoch komme ich nicht wirklich weiter.
> und zu dem Steigen der fkt.
> aus [mm]u'=t^2[/mm] folgt [mm]u=t^3/3+C[/mm] aber es gilt für u': [mm]u'>t^2[/mm] da
> [mm]e^{-u^2}>0[/mm] d.h. die Funktion mit u(0)=1 steigt für alle t,
> das heisst sie wird von t=0 an immer größer.
Ah, okay, jetzt versteh ich das :)
Ja, ist mehr als logisch. Hatte mich in deinem letzten Post verlesen.
Habe "stetig" anstatt "steigt" gelesen, deshalb war ich etwas irritiert ;)
> hast du kontrolliert, ob da nicht vielleicht
> [mm]u'=t^2-e^{-t^2}[/mm] steht?
Nein, das u' stimmt, jedoch hab ich mich beim Anfangswert verschrieben.
Es heißt u(0)=0!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:21 Di 13.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
nochmal, versuch es mit der Ableitung.
gruss leduart
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> Hallo
> nochmal, versuch es mit der Ableitung.
Okay, ich versuche es mal.
Also du meinst so: [mm] $$\frac{|f(t,u_1)-f(t,u_2)|}{|u_1-u_2|}\leq [/mm] L, [mm] \qquad L\ge [/mm] 0$$
Also, dass die Ableitung von f nach oben beschränkt ist?
Oder habe ich das jetzt falsch verstanden?
Hieraus würde ja folgen:
[mm] $$u''(t)=2t-2u(t)u'(t)e^{-u(t)^2}$$
[/mm]
Hier sieht man, dass u'' durch 2t nach oben beschränkt ist.
Somit wäre L=2t, oder nicht?
ABer falls das stimmen sollte, was ich hier fabriziert habe, wie komme ich auf das intervall [0;0.5]?
Liebe Grüße
und vielen Dank für deine Mühe!
> gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:06 Di 13.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo
> > nochmal, versuch es mit der Ableitung.
> Okay, ich versuche es mal.
> Also du meinst so:
> [mm]\frac{|f(t,u_1)-f(t,u_2)|}{|u_1-u_2|}\leq L, \qquad L\ge 0[/mm]
>
> Also, dass die Ableitung von f nach oben beschränkt ist?
> Oder habe ich das jetzt falsch verstanden?
> Hieraus würde ja folgen:
> [mm]u''(t)=2t-2u(t)u'(t)e^{-u(t)^2}[/mm]
> Hier sieht man, dass u'' durch 2t nach oben beschränkt
> ist.
> Somit wäre L=2t, oder nicht?
Das ist Unsinn !
Zeige, dass [mm] |f_u| [/mm] beschränkt ist
FRED
>
> ABer falls das stimmen sollte, was ich hier fabriziert
> habe, wie komme ich auf das intervall [0;0.5]?
> Liebe Grüße
> und vielen Dank für deine Mühe!
>
> > gruss leduart
>
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> > > Hallo
> > > nochmal, versuch es mit der Ableitung.
> > Okay, ich versuche es mal.
> > Also du meinst so:
> > [mm]\frac{|f(t,u_1)-f(t,u_2)|}{|u_1-u_2|}\leq L, \qquad L\ge 0[/mm]
>
> >
> > Also, dass die Ableitung von f nach oben beschränkt ist?
> > Oder habe ich das jetzt falsch verstanden?
> > Hieraus würde ja folgen:
> > [mm]u''(t)=2t-2u(t)u'(t)e^{-u(t)^2}[/mm]
> > Hier sieht man, dass u'' durch 2t nach oben beschränkt
> > ist.
> > Somit wäre L=2t, oder nicht?
>
> Das ist Unsinn !
>
> Zeige, dass [mm]|f_u|[/mm] beschränkt ist
Okay, das heißt ich muss zeigen, dass [mm] $|f_u|=|t^2+e^{-(u)^2}|\leq [/mm] L beschränkt durch [mm] $L\ge [/mm] 0$ ist?
Muss ich hier dann auch wieder nach oben abschätzen?
>
>
> FRED
> >
> > ABer falls das stimmen sollte, was ich hier fabriziert
> > habe, wie komme ich auf das intervall [0;0.5]?
> > Liebe Grüße
> > und vielen Dank für deine Mühe!
> >
> > > gruss leduart
> >
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:29 Di 13.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> > > > Hallo
> > > > nochmal, versuch es mit der Ableitung.
> > > Okay, ich versuche es mal.
> > > Also du meinst so:
> > > [mm]\frac{|f(t,u_1)-f(t,u_2)|}{|u_1-u_2|}\leq L, \qquad L\ge 0[/mm]
>
> >
> > >
> > > Also, dass die Ableitung von f nach oben beschränkt ist?
> > > Oder habe ich das jetzt falsch verstanden?
> > > Hieraus würde ja folgen:
> > > [mm]u''(t)=2t-2u(t)u'(t)e^{-u(t)^2}[/mm]
> > > Hier sieht man, dass u'' durch 2t nach oben
> beschränkt
> > > ist.
> > > Somit wäre L=2t, oder nicht?
> >
> > Das ist Unsinn !
> >
> > Zeige, dass [mm]|f_u|[/mm] beschränkt ist
>
> Okay, das heißt ich muss zeigen, dass
> [mm]$|f_u|=|t^2+e^{-(u)^2}|\leq[/mm] L beschränkt durch [mm]$L\ge[/mm] 0$
Hä ? Mit [mm] f_u [/mm] meinte ich die partielle Ableitung von f nach u.
FRED
> ist?
>
> Muss ich hier dann auch wieder nach oben abschätzen?
>
> >
> >
> > FRED
> > >
> > > ABer falls das stimmen sollte, was ich hier fabriziert
> > > habe, wie komme ich auf das intervall [0;0.5]?
> > > Liebe Grüße
> > > und vielen Dank für deine Mühe!
> > >
> > > > gruss leduart
> > >
> >
>
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> > > > > Hallo
> > > > > nochmal, versuch es mit der Ableitung.
> > > > Okay, ich versuche es mal.
> > > > Also du meinst so:
> > > > [mm]\frac{|f(t,u_1)-f(t,u_2)|}{|u_1-u_2|}\leq L, \qquad L\ge 0[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Also, dass die Ableitung von f nach oben beschränkt ist?
> > > > Oder habe ich das jetzt falsch verstanden?
> > > > Hieraus würde ja folgen:
> > > > [mm]u''(t)=2t-2u(t)u'(t)e^{-u(t)^2}[/mm]
> > > > Hier sieht man, dass u'' durch 2t nach oben
> > beschränkt
> > > > ist.
> > > > Somit wäre L=2t, oder nicht?
> > >
> > > Das ist Unsinn !
> > >
> > > Zeige, dass [mm]|f_u|[/mm] beschränkt ist
> >
> > Okay, das heißt ich muss zeigen, dass
> > [mm]$|f_u|=|t^2+e^{-(u)^2}|\leq[/mm] L beschränkt durch [mm]$L\ge[/mm] 0$
>
> Hä ? Mit [mm]f_u[/mm] meinte ich die partielle Ableitung von f nach
> u.
>
> FRED
Oh, natürlich. Also [mm] $|f_u|=|-2ue^{-u^2}|\leq [/mm] L [mm] \qquad L\ge [/mm] 0$?
Da [mm] $e^{-u^2}$ [/mm] nach oben durch 1 beschränkt ist und >0 müsste dann ja gelten:
[mm] $|-2ue^{-u^2}|\leq [/mm] |2u|$
Aber warum verwende ich hier die partielle Ableitung, das verstehe ich nicht ganz?
>
>
> > ist?
> >
> > Muss ich hier dann auch wieder nach oben abschätzen?
> >
> > >
> > >
> > > FRED
> > > >
> > > > ABer falls das stimmen sollte, was ich hier fabriziert
> > > > habe, wie komme ich auf das intervall [0;0.5]?
> > > > Liebe Grüße
> > > > und vielen Dank für deine Mühe!
> > > >
> > > > > gruss leduart
> > > >
> > >
> >
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> > > > > > Hallo
> > > > > > nochmal, versuch es mit der Ableitung.
> > > > > Okay, ich versuche es mal.
> > > > > Also du meinst so:
> > > > > [mm]\frac{|f(t,u_1)-f(t,u_2)|}{|u_1-u_2|}\leq L, \qquad L\ge 0[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > Also, dass die Ableitung von f nach oben beschränkt ist?
> > > > > Oder habe ich das jetzt falsch verstanden?
> > > > > Hieraus würde ja folgen:
> > > > > [mm]u''(t)=2t-2u(t)u'(t)e^{-u(t)^2}[/mm]
> > > > > Hier sieht man, dass u'' durch 2t nach oben
> > > beschränkt
> > > > > ist.
> > > > > Somit wäre L=2t, oder nicht?
> > > >
> > > > Das ist Unsinn !
> > > >
> > > > Zeige, dass [mm]|f_u|[/mm] beschränkt ist
> > >
> > > Okay, das heißt ich muss zeigen, dass
> > > [mm]$|f_u|=|t^2+e^{-(u)^2}|\leq[/mm] L beschränkt durch [mm]$L\ge[/mm] 0$
> >
> > Hä ? Mit [mm]f_u[/mm] meinte ich die partielle Ableitung von f nach
> > u.
> >
> > FRED
>
> Oh, natürlich. Also [mm]|f_u|=|-2ue^{-u^2}|\leq L \qquad L\ge 0[/mm]?
>
> Da [mm]e^{-u^2}[/mm] nach oben durch 1 beschränkt ist und >0
> müsste dann ja gelten:
> [mm]|-2ue^{-u^2}|\leq |2u|[/mm]
> Aber warum verwende ich hier die
> partielle Ableitung, das verstehe ich nicht ganz?
Okay, ich glaube ich weiß warum.
Wegen der Lipschitz-Bedingung:
[mm] $|f(t,x_1)-f(t,x_2)|\leq L*|x_1-x_2| \gdw \frac{|f(t,x_1)-f(t,x_2)|}{|x_1-x_2|}\leq [/mm] L$
Und [mm] $\frac{|f(t,x_1)-f(t,x_2)|}{|x_1-x_2|}$ [/mm] ist ja genau diese partielle Ableitung von f(t,x) nach x, oder?
>
> >
> >
> > > ist?
> > >
> > > Muss ich hier dann auch wieder nach oben abschätzen?
> > >
> > > >
> > > >
> > > > FRED
> > > > >
> > > > > ABer falls das stimmen sollte, was ich hier fabriziert
> > > > > habe, wie komme ich auf das intervall [0;0.5]?
> > > > > Liebe Grüße
> > > > > und vielen Dank für deine Mühe!
> > > > >
> > > > > > gruss leduart
> > > > >
> > > >
> > >
> >
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 Di 13.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja
und du solltest noch |u|<1 verwenden, was du davor zeigen solltest!
Gruss leduart
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> Hallo
> ja
> und du solltest noch |u|<1 verwenden, was du davor zeigen
> solltest
Okay, ja, klar, das ist logisch.
Aber wie zeige ich das?
Hast du mir hier einen Tipp?
Vielen Dank
> Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:19 Di 13.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
u(0)=0 u'(0)=?
dran weiter denken [mm] u(\Delta t)=u(0)+u'(0)*\Delta [/mm] t+ Fehler
Gruss leduart
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Vielen Dank erstmal :)
> Hallo
> u(0)=0 u'(0)=?
u'(0)=1
> dran weiter denken [mm]u(\Delta t)=u(0)+u'(0)*\Delta[/mm] t+
> Fehler
Hier verstehe ich nicht ganz, was du machst.
Könntest du das etwas erläutern?
Vielen Dank
> Gruss leduart
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:45 Di 13.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie findest du bei bekannter Steigung und anfangswert den n#cjsten Punkt? du gehst auf der Tangente! dabei machst du einen Fehler, der von der 2 ten Abl. abhängt (Taylor)
Gruss leduart
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> Hallo
> wie findest du bei bekannter Steigung und anfangswert den
> n#cjsten Punkt? du gehst auf der Tangente! dabei machst du
> einen Fehler, der von der 2 ten Abl. abhängt (Taylor)
Okay, natürlich, ist durchaus logisch :)
Also muss ich jetzt hier noch die zweite ableitung bestimmen um den Fehler zu ermitteln.
Ich habe das Verfahren zwar einigermaßen versatdnen, weiß aber trotzdem nicht recht, wie ich weiter machen soll, bzw wie ich auf das Intervall [0,0.5] kommen soll.
Vielen Dank
Gruß Dudi
> Gruss leduart
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Okay, also ich habe mir nochmals gedanken darüber gemacht.
Also das, was du oben beschrieben hast ist ja eine Taylor-Reihe von u zum Entwicklungspunkt a=0, oder?
Dann hätte ich ja:
[mm] $u(t)=u(0)+u'(0)*(t-0)+\frac{u''(0)}{2!}*(t-0)^2$
[/mm]
also wäre hier [mm] $\frac{u''(0)}{2!}*(t-0)^2$ [/mm] mein Fehler, der wie du sagtest von u'' abhängt?
Jedoch habe ich für $u''(0)=0$ berechnet. Also wäre unser Fehler hier 0?
Vielen Dank
Grüße
Dudi
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> Okay, also ich habe mir nochmals gedanken darüber
> gemacht.
> Also das, was du oben beschrieben hast ist ja eine
> Taylor-Reihe von u zum Entwicklungspunkt a=0, oder?
> Dann hätte ich ja:
> [mm]u(t)=u(0)+u'(0)*(t-0)+\frac{u''(0)}{2!}*(t-0)^2[/mm]
> also wäre hier [mm]\frac{u''(0)}{2!}*(t-0)^2[/mm] mein Fehler, der
> wie du sagtest von u'' abhängt?
> Jedoch habe ich für [mm]u''(0)=0[/mm] berechnet. Also wäre unser
> Fehler hier 0?
Aber das kann doch auch nicht wirklich sein.
Nach oben stehender Approximation würde dann ja gelten:
[mm] $u(\Delta t)=\Delta [/mm] t$
und somit wäre [mm] $\Delta [/mm] t=1$ und nicht [mm] $\frac{1}{2}$.
[/mm]
Was stimmt hier nicht?
Ich komme einfach nicht drauf.
Vielen Dank
Liebe Grüße
Dudi
>
> Vielen Dank
>
>
> Grüße
> Dudi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:45 Mi 14.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
zuerst zu L, die Lippschitzkonstante ist kleiner als das max von [mm] f_u
[/mm]
also leite [mm] f_u [/mm] ab, dann ist das bei [mm] u=\wurzel{0.5} [/mm] also [mm] f_u=..
[/mm]
zu u<1
[mm] u'=t^2+e^{-u^2} [/mm] u'(0)=1 also u wachsend also uund [mm] u^2>0 [/mm] damit [mm] e^{-u^2}<1 [/mm] im betrachteten Interval [mm] t^2<1/4 [/mm] also u'<1.25
damit u(t)<u(0)-u'_{max}*t
Gruss leduart
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> Hallo
> zuerst zu L, die Lippschitzkonstante ist kleiner als das
> max von [mm]f_u[/mm]
Okay, warum ist die Konstante kleiner als das Maximum von [mm] $f_u$?
[/mm]
Muss es nicht größer sein, als das Maximum, damit die Lipschitz-Bedingung erfüllt ist?
> also leite [mm]f_u[/mm] ab, dann ist das bei [mm]u=\wurzel{0.5}[/mm] also
> [mm]f_u=..[/mm]
Das habe ich gemacht und erhalte für die Ableitung:
[mm] $e^{-u^2}(-2+4u^2)$ [/mm] soll 0 ergeben, also: [mm] $-2+4u^2=0\gdw u=\sqrt{\frac{1}{2}}$
[/mm]
>
> zu u<1
> [mm]u'=t^2+e^{-u^2}[/mm] u'(0)=1 also u wachsend also uund [mm]u^2>0[/mm]
> damit [mm]e^{-u^2}<1[/mm] im
Okay, soweit komme ich gut mit. Jedoch hier:
>betrachteten Interval [mm]t^2<1/4[/mm] also
> u'<1.25
Wie komme ich hier auf [mm] $t^2<\frac{1}{4}§
[/mm]
> damit u(t)<u(0)-u'_{max}*t
> Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:24 Mi 14.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie groß wird t und [mm] t^2 [/mm] in (0,1/2) maximal??????????
mit etwa Kopfschütteln
leduart
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Okay, ja, natürlich [mm] $\frac{1}{4}$
[/mm]
Aber das mit der Lipschitzkonstante verstehe ich noch nicht ganz.
Warum muss diese KLEINER als das [mm] $\max(f_u)$ [/mm] sein?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:49 Mi 14.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
kleiner oder gleich, ist die kleinste L natürlich kann man sie größer machen.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:39 Di 13.11.2012 | | Autor: | DudiPupan |
Ich habe den Fehler gefunden.
Es muss heißen $u(0)=0$.
Entschuldigung!
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:06 Di 13.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
dann stimmt die Beh u<1 für t<1/2
Gruss leduart
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