Ewartungswert, schwer < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:17 Do 11.05.2006 | | Autor: | Speyer |
| Aufgabe | Sei X poisson-verteilt mit Erwartungswert [mm] \lambda. [/mm] Zeigen sie
[mm] E[\bruch{1}{1+X}] [/mm] = [mm] \bruch{1}{\lambda}(1-e^{-\lambda}) [/mm] |
der Erwartungswert muß doch eine natürliche Zahl sein, oder ?
d.h. doch dann, dass X eigentlich NULL sein muß, oder versteh ich da was falsch ? wie würdet ihr diese Aufgabe lösen ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:08 Do 11.05.2006 | | Autor: | DirkG |
Die Einzelwahrscheinlichkeiten deiner Poissonverteilung sind [mm] $P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$ [/mm] für [mm] $k=0,1,2,\ldots$. [/mm] Dann berechnet sich der gesuchte Erwartungswert gemäß
[mm] $$E\left( \frac{1}{1+X} \right) [/mm] = [mm] \sum\limits_{k=0}^{\infty} [/mm] ~ [mm] \frac{1}{1+k}\cdot [/mm] P(X=k) = [mm] \sum\limits_{k=0}^{\infty} [/mm] ~ [mm] \frac{1}{1+k}\cdot\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$$
[/mm]
Mit etwas wachem Blick sollte diese Reihe schnell vereinfacht sein.
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