Eulersche Zahl mit Cauchy < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:25 So 24.01.2010 | | Autor: | bero2009 |
| Aufgabe | | Ich möchte zur Übung die Folge [mm]\left(1+\frac{1}{n}\right)^n[/mm] auf Konvergenz prüfen. |
Hallo zusammen,
bei meinem obigen Vorhaben komme ich gerade nicht weiter.
Ein normaler [mm]\epsilon[/mm]-Beweis fällt als Ansatz flach, da ich zwar den Grenzwert kenne aber den nicht vermutet hätte.
Also dachte ich mir, dass ich zeige, dass meine Folge eine Cauchy-Folge ist und damit in [mm]\IR[/mm] konvergent.
Ansatz: Sei [mm]\epsilon>0[/mm]. Wähle [mm]N\in\IN[/mm] mit "Platzhalter".
Dann gilt [mm]\forall n,m\geq N:|a_n-a_m|<\epsilon[/mm].
Also: [mm]\left|\left(1+\frac{1}{n}\right)^n-\left(1+\frac{1}{m}\right)^m\right|=\left|\left(\frac{1}{n}\right)^n-\left(\frac{1}{m}\right)^m\right|[/mm]
Und da hört es auch schon auf. Wie mache ich da weiter? Geschickt eine Null addieren und Dreiecksungleichung? Oder wie geht der Weg weiter?
Über die Dreiecksungleichung bin ich bis jetzt nicht zu einem Ergebnis gekommen.
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen
Gruß
Benni
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:43 Mo 25.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Zeige, dass die Folge ( $ [mm] \left(1+\frac{1}{n}\right)^n [/mm] $) monoton und beschränkt ist.
Ganz einfach ist das nicht !!
FRED
|
|
|
|
