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Eulersche Phi-Funktion Beweis: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 16:38 So 05.12.2010
Autor: qsxqsx

Hallo,

Die Eulersche Phi Funktion zu n gibt die Anzahl Zahlen an, welche keinen gemeinsamen Teiler ausser die 1 mit n haben.
Bsp: Falls n eine Primzahl ist, so ist [mm] \phi(n) [/mm] = n-1  

Für eine Zahl n = [mm] p_{1}^{k_{1}}*...*p_{m}^{k_{m}} [/mm] , wobei [mm] p_{i} [/mm] jeweils verschiedene Primzahlen sind, steht dass gilt

[mm] \phi(n) [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{m}(p_{i} [/mm] - [mm] 1)*p_{i}^{k_{i} - 1} [/mm]

Ich will was einfacheres Zeigen, nämlich den Fall, wo alle Potenzen [mm] k_{i} [/mm] = 1 sind, woraus folgt
[mm] \phi(n) [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{m}(p_{i} [/mm] - 1),
,mit n = [mm] p_{1}*p_{2}*...*p_{m} [/mm]

Mein Versuch dies zu zeigen:

[mm] \produkt_{i=1}^{m}(p_{i} [/mm] - 1) = n - "Alle Möglichkeiten mit den m Primzahlen Zahlen zu bilden"
= [mm] p_{1}*p_{2}*...*p_{m} [/mm] - [mm] \summe_{a=1}^{m} \vektor{m \\ a} [/mm]
= [mm] p_{1}*p_{2}*...*p_{m} [/mm] - [mm] (2^{m} [/mm] - 1)

Das Problem ist, dass das nicht stimmt. Sieht jemand meinen Denkfehler? Bräuchte nur einen Tipp.
Danke sehr!

Hier auf Wiki steht eigentlich schon der Beweis für sogar verschiedene Potenzen k von [mm] p_{i}. [/mm] Also n = [mm] p_{1}^{k_{1}}*...*p_{m}^{k_{m}} [/mm] Trotzdem möchte ich gerne sehen, dass es auch auf meine Art geht. []Eulersche Phi Funktion


Gruss


        
Bezug
Eulersche Phi-Funktion Beweis: Fehler in meiner Überlegung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:08 So 05.12.2010
Autor: qsxqsx

Sry, ich habe gerade selber erst jetzt einen Fehler in meinem Prinzip erkannt. Wenn ich es doch nicht schaffe melde ich mich.

Gruss

Bezug
        
Bezug
Eulersche Phi-Funktion Beweis: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:23 So 12.12.2010
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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