Eulersche Phi-Funktion < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:15 Di 22.05.2007 | | Autor: | Fry |
Hallo,
bei folgender Aufgabe hab ich überhaupt gar keinen Ansatz:
Ich soll zeigen, dass [mm] \summe_{1 \le k \le n, ggT(k,n)=1}^{} [/mm] k = [mm] \phi(n)\bruch{1}{2}n [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 2 [mm] (\phi(n) [/mm] = Eulersche Phi-Funktion)
Kann mir jemand weiterhelfen?
Bin für jede Hilfe dankbar!
Lg
Fry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:40 Di 22.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Fry,
> bei folgender Aufgabe hab ich überhaupt gar keinen Ansatz:
>
> Ich soll zeigen, dass [mm]\summe_{1 \le k \le n, ggT(k,n)=1}^{}[/mm]
> k = [mm]\phi(n)\bruch{1}{2}n[/mm] für n [mm]\ge[/mm] 2 [mm](\phi(n)[/mm] = Eulersche
> Phi-Funktion)
ein kleiner Hinweis: ist $ggT(k, n) = 1$, so ist auch $ggT(n - k, n) = 1$.
Mach jetzt eine Fallunterscheidung nach $n$ gerade und ungerade, und beachte, dass [mm] $\phi(n)$ [/mm] gerade die Anzahl der $k$ mit $1 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n$ und $ggT(k, n) = 1$ ist.
Etwa, wenn $n$ gerade ist, so ist [mm] $\sum_{1 \le k \le n \atop ggT(n, k) = 1} [/mm] k = [mm] \sum_{1 \le k < n/2 \atop ggT(n, k)} [/mm] (k + (n - k))$.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:58 Di 22.05.2007 | | Autor: | Fry |
Hallo Felix,
vielen Dank für deine schnelle Hilfe,
hat mir geholfen!
VG :)
Fry
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