Eulersche Identität anwenden < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:39 Di 29.05.2012 | | Autor: | Spicker |
| Aufgabe | | Wie errechnet man der Cosinus des Winkels von 45° im Einheitskreis mit Hilfe der Eulerschen Identität? |
Hallo Leute,
ich hab gerade angefangen komplexe/imaginäre Zahlen zu lernen und habe ein Verständnisproblem mit der Eulerschen Identität.
Auf den ersten Blick sieht die Formel so aus, als ob man z.B. den Cosinus für einen Winkel ausrechnen kann. Mit der Cosinus-Funktion kommt für 45° im Einheitskreis 0,707... raus. Ihr würdet wir sehr helfen, wenn ihr mir mal zeigt, was ich in (e^ix+e^-ix)/2 einsetzen muss, damit ich auf diese 0,707 komme.
Was mich auch sehr wundert ist die Beziehung e^iPi = -1. Wie soll denn das gehen? [mm] e^x [/mm] wird doch nie kleiner als 0 ?
Vielen Dank schon mal für die Hilfe!
LG Spicker
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Ich suche schon seit drei Tagen im Internet, finde aber einfach kein Beispiel. Dafür lauter Lobgesänge auf die Schönheit dieser Formel)
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Hi!
> Wie errechnet man der Cosinus des Winkels von 45° im
> Einheitskreis mit Hilfe der Eulerschen Identität?
> Hallo Leute,
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> ich hab gerade angefangen komplexe/imaginäre Zahlen zu
> lernen und habe ein Verständnisproblem mit der Eulerschen
> Identität.
>
> Auf den ersten Blick sieht die Formel so aus, als ob man
> z.B. den Cosinus für einen Winkel ausrechnen kann. Mit der
> Cosinus-Funktion kommt für 45° im Einheitskreis 0,707...
> raus. Ihr würdet wir sehr helfen, wenn ihr mir mal zeigt,
> was ich in (e^ix+e^-ix)/2 einsetzen muss, damit ich auf
> diese 0,707 komme.
Nun ja, du musst schlichtweg [mm] $45^\circ$ [/mm] in rad benutzen, also [mm] $\frac{\pi}{4}$, [/mm] und dann einfach einsetzen in [mm] $\cos [/mm] x = [mm] \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$. [/mm] Wenn mich nicht alles täuscht, brauchst du dafür dann die Reihenentwicklung der komplexen Exponentialfunktion:
[mm] $\exp\colon \mathbb{C}\to\mathbb{C}, \quad \exp(z)=\sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!}$. [/mm]
Also so ganz trivial ist das nicht, glaube ich zumindest, aber vielleicht kann ja noch jemand anderes mehr dazu schreiben (deswegen auch nur "teilweise beantwortet").
> Was mich auch sehr wundert ist die Beziehung [mm] e^{i\pi} [/mm] = -1.
Für [mm] $z\in\mathbb{C}$ [/mm] gilt: [mm] $\exp(iz)=\cos(z)+i\sin(z)$ [/mm]
Setze mal für z dein [mm] $\pi$ [/mm] ein.
> Wie soll denn das gehen? [mm]e^x[/mm] wird doch nie kleiner als 0 ?
Das gilt nur in [mm] \mathbb{R}. [/mm] Im Komplexen beschreibt die Exponentialfunktion gerade den Einheitskreis um $(0,0)$, durchläuft also $(1,0)$, $(0,i)$, $(-1,0)$ (was -1 im Reellen entspricht, denn [mm] "$\mathrm{Im} [/mm] (-1,0)=0, [mm] \: \mathrm{Re} [/mm] (-1,0)=-1$") und $(0,-i)$. (Siehe ![[]](/images/popup.gif) hier.)
> Vielen Dank schon mal für die Hilfe!
>
> LG Spicker
>
> (Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt. Ich suche schon seit drei Tagen im
> Internet, finde aber einfach kein Beispiel. Dafür lauter
> Lobgesänge auf die Schönheit dieser Formel)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:37 Di 29.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Lustique,
> Hi!
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> > Wie errechnet man der Cosinus des Winkels von 45° im
> > Einheitskreis mit Hilfe der Eulerschen Identität?
> > Hallo Leute,
> >
> > ich hab gerade angefangen komplexe/imaginäre Zahlen zu
> > lernen und habe ein Verständnisproblem mit der Eulerschen
> > Identität.
> >
> > Auf den ersten Blick sieht die Formel so aus, als ob man
> > z.B. den Cosinus für einen Winkel ausrechnen kann. Mit der
> > Cosinus-Funktion kommt für 45° im Einheitskreis 0,707...
> > raus. Ihr würdet wir sehr helfen, wenn ihr mir mal zeigt,
> > was ich in (e^ix+e^-ix)/2 einsetzen muss, damit ich auf
> > diese 0,707 komme.
>
> Nun ja, du musst schlichtweg [mm]45^\circ[/mm] in rad benutzen, also
> [mm]\frac{\pi}{4}[/mm], und dann einfach einsetzen in [mm]\cos x = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}[/mm].
> Wenn mich nicht alles täuscht, brauchst du dafür dann die
> Reihenentwicklung der komplexen Exponentialfunktion:
> [mm]\exp\colon \mathbb{C}\to\mathbb{C}, \quad \exp(z)=\sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!}[/mm].
> Also so ganz trivial ist das nicht, glaube ich zumindest,
> aber vielleicht kann ja noch jemand anderes mehr dazu
> schreiben (deswegen auch nur "teilweise beantwortet").
>
> > Was mich auch sehr wundert ist die Beziehung [mm]e^{i\pi}[/mm] =
> -1.
>
> Für [mm]z\in\mathbb{C}[/mm] gilt: [mm]\exp(iz)=\cos(z)+i\sin(z)[/mm]
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> Setze mal für z dein [mm]\pi[/mm] ein.
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> > Wie soll denn das gehen? [mm]e^x[/mm] wird doch nie kleiner als 0 ?
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> Das gilt nur in [mm]\mathbb{R}.[/mm] Im Komplexen beschreibt die
> Exponentialfunktion gerade den Einheitskreis um [mm](0,0)[/mm],
> durchläuft also [mm](1,0)[/mm], [mm](0,i)[/mm], [mm](-1,0)[/mm] (was -1 im Reellen
> entspricht, denn "[mm]\mathrm{Im} (-1,0)=0, \: \mathrm{Re} (-1,0)=-1[/mm]")
> und [mm](0,-i)[/mm].
da musst Du ein wenig genauer auf Deine Formulierung achten, was Du meinst. Die komplexe Exponentialfunktion [mm] $\exp_{\IC}: \IC \to \IC$ [/mm] "durchläuft" auch den Einheitskreis, keine Frage (der Einheitskreis ist Teilmenge von [mm] $\exp_{\IC}(\IC)$ [/mm] meine ich damit, jedenfalls im Wesentlichen). Aber Du meinst eigentlich gar nicht diese [mm] $\exp_{\IC}\,,$ [/mm] denn die macht vielmehr als nur den Einheitskreis durchlaufen (überlege mal, welche Periodizität sie auch hätte):
Sondern:
Die Funktion, die Du oben ansprichst (welche man auch manchmal nur auf einem halboffenen Intervall der Länge [mm] $2\pi$ [/mm] definiert!), ist doch sicher eher die Funktion
$$f: [mm] \IR \to \IC$$
[/mm]
mit [mm] $f(x):=\exp(i*x)\,.$
[/mm]
Deine Formel [mm] $\exp(i*z)=\cos(z)+i*\sin(z)$ [/mm] für $z [mm] \in \IC$ [/mm] gilt aber natürlich auch - aber hier wird's geometrisch interessant, wenn man anstatt $z [mm] \in \IC$ [/mm] nur $z [mm] \in \IR$ [/mm] zuläßt. Denn dann hat man auch eine geometrische Interpretation von [mm] $f\,$ [/mm] (oder [mm] $f_{|[0,2\pi)}$) [/mm] mithilfe des Einheitskreises und findet den Sinus und Kosinus auch anschaulisch wieder.
Und übrigens: Es gilt etwa [mm] $f=(\exp_{\IC})_{|i*\IR}\,.$ [/mm] (D.h. [mm] $f\,$ [/mm] ist die Einschränkung der komplexen Exponentialfunktion auf die imaginäre Achse!) (Edit: Das war Quatsch - auch, wenn man mithilfe einer Verkettung von Funktionen sicher [mm] $f\,$ [/mm] in Zusammenhang mit [mm] $(\exp_{\IC})_{|i*\IR}$ [/mm] - also der Einschränkung der komplexen Exponentialfunktion auf die imaginäre Achse - bringen kann! Aber dass das so, wie ich es geschrieben hatte, nicht stimmen konnte, sieht man ja schon, weil [mm] $f\,$ [/mm] nicht auf [mm] $i*\IR\,,$ [/mm] sondern auf [mm] $\IR\,$ [/mm] definiert ist!)
@Spicker:
Kurz: Lustique hatte es schon richtig gesagt: Wertet man [mm] $\exp(z)\,$ [/mm] nur für $z=r [mm] \in \IR$ [/mm] aus, so wird [mm] $\exp(z)=\exp(r) [/mm] > 0$ stets sein. Läßt man $z [mm] \in \IC \setminus \IR$ [/mm] bei der Auswertung von [mm] $\exp(z)$ [/mm] zu, so kann man i.a. nicht [mm] $\exp(z) [/mm] > 0$ erwarten. Witzigerweise (und das ist leicht nachzurechnen) gilt jedenfalls [mm] $|\exp(i*r)|=1$ [/mm] für jedes $r [mm] \in \IR\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:16 Sa 02.06.2012 | | Autor: | Lustique |
Danke für deine Rückmeldung! Da habe ich an den Spezialfall gedacht, aber allgemein geantwortet. 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:37 So 10.06.2012 | | Autor: | Spicker |
Hallo ihr, vielen Dank,
hab nicht alle Ausführungen verstanden. Aber ich hab jetzt eine Mathe-App die mit Komplexen Zahlen klarkommt, da sieht man recht schnell, wie das geht. ( man kann auch "e^(i*pi/4)" bei google eingeben und bekommt eine Lösung angezeigt)
Für e^(i*theta) bekommt man bei
theta = Pi/4 : 0.707+0.707i
theta = Pi/4*3 : -0.707+0.707i
theta = Pi/4*5 : -0.707-0.707i
theta = Pi/4*7 : 0.707-0.707i
(gerundet) Der reale Anteil ist dann der Cosinus von theta.
LG Spicker
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Do 31.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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