Eulersche Funktion < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:11 Mo 30.05.2005 | | Autor: | NECO |
Hallo, Ich versteh das hier nicht. Was bedeutet das den hier?
[mm] \delta(n)=n\*\produkt_{p|n}(1-1/p)
[/mm]
Ich habe stat phi delta genommen. Es muss ja auf der rechten Seite die Anzahl der zu n teilerfremde Zahlen stehen. Wer kann man das bisschen erklären. Danke.
Ich weiß wenn n=Primmzahl ist, dann ist [mm] \delta(n)=n-1. [/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:46 Mo 30.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo NECO!
Beachte bitte:
1) [mm] $\varphi$ [/mm] ist multiplikativ, d.h. für $x,y [mm] \in \IN$ [/mm] mit $ggT(x,y)=1$ gilt
[mm] $\varphi(x \cdot [/mm] y) = [mm] \varphi(x) \cdot \varphi(y)$.
[/mm]
2) Für Primzahlpotenzen gilt (mache dir das bitte klar):
[mm] $\varphi(p^{\alpha}) [/mm] = [mm] p^{\alpha-1} \cdot [/mm] (p-1)$.
Kannst du mit diesen beiden Sachverhalten die Behauptung zeigen?
Fange so an:
[mm] $\frac{\varphi(n)}{n} [/mm] = [mm] \frac{\varphi \left(p_1^{\alpha_1} \cdot \ldots \cdot p_k^{\alpha_k} \right)}{p_1^{\alpha_1} \cdot \ldots \cdot p_k^{\alpha_k}} [/mm] = [mm] \ldots$
[/mm]
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Mo 30.05.2005 | | Autor: | NECO |
Danke julius aber Ich weiß es nicht was auf der Rechten Siete steht. Kannst du mir Die Rechte Seite erläutern?
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Hallo Neco!
Auf der rechten Seite steht das $n$ mal das Produkt von [mm] $1-\bruch [/mm] 1p$ mit allen Primzahlen $p$, die $n$ teilen. Also z.B. im Fall $n=4$: 2 teilt $n$. Dann ist
[mm] $\delta(4)=4*\left(1-\bruch{1}{2}\right)=2$...
[/mm]
Oder im Fall $n=6$: Sowohl $2$ also auch $3$ teilen $n$. Dann ist
[mm] $\delta(6)=6*\left(1-\bruch{1}{2}\right)*\left(1-\bruch{1}{3}\right)=2$.
[/mm]
Ist es dir jetzt klarer?
Gruß, banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:05 Mo 30.05.2005 | | Autor: | NECO |
Danke, ich versuche jetz zu beweisen. DAnke für die Beispiele.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:58 Mo 30.05.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Neco!
Falls du Probleme beim Beweis hast, so kann ich dir das Prinzip der In- und Exklusion empfehlen. Mit ihm kannst du leicht die von dir genannte Darstellung der Eulerschen Phi Funktion gewinnen.
Liebe Grüße,
Hanno
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