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| Aufgabe | | Stellen Sie sin x und cos x als Linearkobinationen von [mm] $e^{ix}=cos [/mm] x + isin x$ und [mm] $e^{-ix}=cos [/mm] x - isin x$ dar. |
Hallo Mathefreunde,
ich habe hier ein paar Verständnisschwierigkeiten bzgl. des Begriffs "Linearkombination" hier. Ich kenne diesen Begriff nur aus dem Zusammenhang von linearer Unabhängigkeit von Vektoren zum Beispiel. Wie kann ich ihn hier verwenden?
Hiermal eine Idee von mir:
$ sin x = [mm] \lambda_1 e^{ix}+\lambda_2 e^{-ix}$
[/mm]
$ cos x = [mm] \mu_1 e^{ix}+\mu_2 e^{-ix}$
[/mm]
Liebe Grüße
Christoph
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Hallo meister_quitte,
> Stellen Sie sin x und cos x als Linearkobinationen von
> [mm]e^{ix}=cos x + isin x[/mm] und [mm]e^{-ix}=cos x - isin x[/mm] dar.
> Hallo Mathefreunde,
>
> ich habe hier ein paar Verständnisschwierigkeiten bzgl.
> des Begriffs "Linearkombination" hier. Ich kenne diesen
> Begriff nur aus dem Zusammenhang von linearer
> Unabhängigkeit von Vektoren zum Beispiel. Wie kann ich ihn
> hier verwenden?
>
> Hiermal eine Idee von mir:
>
> [mm]sin x = \lambda_1 e^{ix}+\lambda_2 e^{-ix}[/mm]
> [mm]cos x = \mu_1 e^{ix}+\mu_2 e^{-ix}[/mm]
>
Setze jetzt die obengenannten Definition ein
und führe einen Koeffizientenvergleich durch.
> Liebe Grüße
>
> Christoph
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower,
meinst du das etwa so?
$sin x= [mm] \lambda_1 [/mm] (cos x+isin [mm] x)+\lambda_2 [/mm] (cos x-isin x)= [mm] (\lambda_1+\lambda_2)cos x+(\lambda_1-\lambda_2)isin [/mm] x =$
und
$cos x= [mm] \mu_1 [/mm] (cos [mm] x+isinx)+\mu_2 [/mm] (cos x-isinx)= [mm] (\mu_1+\mu_2)cos x+(\mu_1-\mu_2)isin [/mm] x$
Dann habe [mm] ich$\lambda$ [/mm] und [mm] $\mu$ [/mm] verglichen: [mm] $\lambda_1+\lambda_2=\mu_1+\mu_2\wedge (\lambda_1-\lambda_2)=(\mu_1-\mu_2)\iff \lambda_1-\mu_1+\lambda_2-\mu_2=0\wedge \lambda_1-\mu_1+\lambda_2+\mu_2=0$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \mu_1= \lambda_1+\lambda_2\wedge\mu_2=0$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] cos x = [mm] (\lambda_1+\lambda_2)(cos [/mm] x+isinx)$
[mm] $\Rightarrow [/mm] cos x= [mm] \lambda_1 e^{ix}+\lambda_2 e^{ix}$
[/mm]
Ist das so richtig?
Liebe Grüße
Christoph
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:56 Do 12.04.2012 | | Autor: | Fulla |
Hallo Christoph,
> Hallo MathePower,
>
> meinst du das etwa so?
>
> [mm]sin x= \lambda_1 (cos x+isin x)+\lambda_2 (cos x-isin x)= (\lambda_1+\lambda_2)cos x+(\lambda_1-\lambda_2)isin x =[/mm]
>
> und
>
> [mm]cos x= \mu_1 (cos x+isinx)+\mu_2 (cos x-isinx)= (\mu_1+\mu_2)cos x+(\mu_1-\mu_2)isin x[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Dann habe ich[mm]\lambda[/mm] und [mm]\mu[/mm] verglichen:
Du sollst aber etwas anderes vergleichen!
Betrachte zunächst [mm]\cos x= (\mu_1+\mu_2)\cos x + (\mu_1-\mu_2)i\sin(x)[/mm]:
Die linke Seite kannst du auch schreiben als [mm]1\cdot\cos x+ 0\cdot i\sin x[/mm]. Jetzt vergleiche die Koeffizienten von [mm]\cos x[/mm] und [mm]i\sin x[/mm]. Wie müssen [mm]\mu_1[/mm] und [mm]\mu_2[/mm] gewählt werden, damit die Gleichung stimmt?
Lieben Gruß,
Fulla
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Hallo Fulla,
>
> Du sollst aber etwas anderes vergleichen!
>
>
> Betrachte zunächst [mm]\cos x= (\mu_1+\mu_2)\cos x + (\mu_1-\mu_2)i\sin(x)[/mm]:
>
> Die linke Seite kannst du auch schreiben als [mm]1\cdot\cos x+ 0\cdot i\sin x[/mm].
> Jetzt vergleiche die Koeffizienten von [mm]\cos x[/mm] und [mm]i\sin x[/mm].
> Wie müssen [mm]\mu_1[/mm] und [mm]\mu_2[/mm] gewählt werden, damit die
> Gleichung stimmt?
>
[mm] $\mu_1=\mu_2$ [/mm] setzen [mm] $\Rightarrow [/mm] cos x= cos x$. Meinst du das so?
Liebe Grüße
Christoph
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Hallo Christoph,
> [mm]\mu_1=\mu_2[/mm] setzen [mm]\Rightarrow cos x= cos x[/mm]. Meinst du das
> so?
nein, so meinte er das nicht. Du sollst Butter bei die Fische geben und konkrete Werte aus [mm] \IC [/mm] für [mm] \lambda_1 [/mm] und [mm] \lambda_2 [/mm] bestimmen.
[mm] e^{ix}=cos(x)+i*sin(x)
[/mm]
[mm] e^{-ix}=cos(-x)+i*sin(-x)=...
[/mm]
Jetzt gibt es da Symmetrieeigenschaften der Kreisfunktionen, die man spätestens ab Klasse 9 kennt und die man hier sehr zielführend anwenden kann. Danach hast du bei beiden Gleichungen aus dem Startbeitrag noch vielfache von cos(x) und i*sin(x) stehen, und musst einfach die beiden Parameter so bestimmen, dass entweder sin(x) oder cos(x) übrig bleibt.
GRuß, Diophant
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Danke an alle, die mir geholfen haben.
LG Christoph
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