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Hallo,
warum darf man
[mm]cos(nx)+i*sin(nx) = (cos\;x + i*sin\;x)^n[/mm] schreiben?
[mm]e^{inx}=(e^{ix})^n[/mm] geht wegen den Potenzgesetzen, aber warum ist die 1. Zeile richtig?
Gruß,
Christian
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Hallo.
> warum darf man
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> [mm]cos(nx)+i*sin(nx) = (cos\;x + i*sin\;x)^n[/mm] schreiben?
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> [mm]e^{inx}=(e^{ix})^n[/mm] geht wegen den Potenzgesetzen, aber
> warum ist die 1. Zeile richtig?
Weil ja prinzipiell [mm] $e^{\varphi*i}=cos{\varphi}+i*sin{\varphi}$ [/mm] gilt.
(Formel von Euler-de Moivre).
Ich hoffe, das beantwortet deine Frage einigermaßen.
Wenn nicht, kannst Du ja nochmal genauer nachfragen.
Gruß,
Christian
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Das ging ja schnell 
Das heißt man könnte sagen weil [mm]e^{inx}=(e^{ix})^n[/mm] gilt, und [mm]e^{inx}=cos(nx)+i*sin(nx)[/mm] ist, muss auch [mm]cos(nx)+i*sin(nx) = (cos\;x + i*sin\;x)^n[/mm] gelten? So sieht's wohl aus aber wirklich verstehen tu ich das nicht. Warum darf man das Argument von den Winkeln verändern und als Exponent hinschreiben? Nur weil das auf der linken Seite mit dem [mm] e^{nix} [/mm] geht ist ja wohl keine Begründung: links kann man so ein Potenzgesetz anwenden aber rechts hat man zunächst mal gar keine Exponenten. Wenn man jetzt nicht die spezielle Form cos(nx)+i*sin(nx) hat, sondern z.B. cos(nx)+sin(nx) darf man das n ja auch nicht rausziehen und als ^n hinschreiben.
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Hallo,
die Richtigkeit der Gleichung
[mm]e^{i\varphi } \; = \;\cos \left( \varphi \right)\; + \;i\;\sin \left( \varphi \right)[/mm]
weist man mit Hilfe der Reihenentwicklung nach:
[mm]
\begin{gathered}
e^{i\varphi } \; = \;\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{\left( {i\varphi } \right)^k }}
{{k!}}} \; = \;\sum\limits_{k = 0}^\infty {i^k \;\frac{{\varphi ^k }}
{{k!}}} \hfill \\
\cos \left( \varphi \right)\; = \;\sum\limits_{l = 0}^\infty {\left( { - 1} \right)^l \;\frac{{\varphi ^{2l} }}
{{\left( {2l} \right)!}}} \hfill \\
\sin (\varphi )\; = \;\sum\limits_{l = 0}^\infty {\left( { - 1} \right)^l \;\frac{{\varphi ^{2l + 1} }}
{{\left( {2l + 1} \right)!}}} \hfill \\
\end{gathered}
[/mm]
Die Gültigkeit der zweiten Gleichung weist man mit Hilfe von Additionstheoremen nach.
Gruß
MathePower
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