Euler´sche Zahl < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm] s_{n}:=\summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!} [/mm] und e:= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} s_{n} [/mm] die Euler´sche Zahl.
(b) Zeigen sie, dass die Euler´sche Zahl e irrational ist. Hinweis: Gegenteil annehmen und [mm] e-s_{n} [/mm] betrachten. |
Also bei dieser Aufgabe komme ich nicht weiter! Hoffe mir kann jemand helfen !!
DANKE
|
|
| |
|
> Sei [mm]s_{n}:=\summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{k!}[/mm] und e:=
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} s_{n}[/mm] die Euler´sche Zahl.
>
> (b) Zeigen sie, dass die Euler´sche Zahl e irrational ist.
> Hinweis: Gegenteil annehmen und [mm]e-s_{n}[/mm] betrachten.
Hallo,
Angenommen, es wäre e rational. Dann gibt es p,q [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] e=\bruch{p}{q}.
[/mm]
Da [mm] s_n [/mm] monoton wachsend gegen e konvergiert,
ist
[mm] 0
Es ist [mm] (e-\summe_{k=0}^{q} \bruch{1}{k!})q! \in \IN.
[/mm]
[mm] e=\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k!} [/mm] berücksichtigend, erhält man [mm] e-\summe_{k=0}^{q} \bruch{1}{k!})q! [/mm] abschätzend (unter Zuhilfenahme der geometrischen Reihe) einen Widerspruch.
Fang' mal an, ggf. nachfragen.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
