Euler-Lagrange < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:30 Di 06.03.2012 | | Autor: | qsxqsx |
Guten Morgen,
Ich versteh einfach diese Euler-Lagrange-Gleichung nicht - wieso die ist wie sie ist.![[]](/images/popup.gif) Wikipedia
[mm] \bruch{\partial}{\partial t}*\bruch{\partial L(t,q,q')}{\partial q'} [/mm] = [mm] \bruch{\partial L(t,q,q')}{\partial q}
[/mm]
Ich verstehe nicht wieso man so ein q(t) finden kann, welches L minimiert. Weil q' = [mm] \bruch{\partial q}{\partial t} [/mm] ist diese gleichung eigentlich für alle q(t) erfüllt, da [mm] \bruch{\partial}{\partial t}*\bruch{\partial L(t,q,q')}{\partial \bruch{\partial q}{\partial t}} [/mm] = [mm] \bruch{\partial L(t,q,q')}{\partial q} [/mm] könnte man sagen das Differential nach t kürzt sich heraus.
Mir ist durchaus bewusst, dass dies sich eben doch nicht kürzen lässt - nur ich verstehe schwer weshalb. Und eben wenn L minimiert werden soll, wieso leitet man nicht einfach nach q und q' ab und setzt dies jeweils gleich 0?
Danke!
Liebe Grüsse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:58 Di 06.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Guten Morgen,
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> Ich versteh einfach diese Euler-Lagrange-Gleichung nicht -
> wieso die ist wie sie
> ist.Wikipedia
>
>
>
> [mm]\bruch{\partial}{\partial t}*\bruch{\partial L(t,q,q')}{\partial q'}[/mm]
> = [mm]\bruch{\partial L(t,q,q')}{\partial q}[/mm]
>
> Ich verstehe nicht wieso man so ein q(t) finden kann,
> welches L minimiert. Weil q' = [mm]\bruch{\partial q}{\partial t}[/mm]
> ist diese gleichung eigentlich für alle q(t) erfüllt, da
> [mm]\bruch{\partial}{\partial t}*\bruch{\partial L(t,q,q')}{\partial \bruch{\partial q}{\partial t}}[/mm]
> = [mm]\bruch{\partial L(t,q,q')}{\partial q}[/mm] könnte man sagen
> das Differential nach t kürzt sich heraus.
das sehe ich anders, denn wenn Du mal genau hinguckst, sieht das dann doch so aus:
[mm] $$\bruch{\blue{\partial}}{\red{\partial t}}*\bruch{\partial L(t,q,q')}{\green{\partial} \bruch{\partial q}{\red{\partial t}}}\,.$$
[/mm]
Mit welcher Begründung sollten sich denn das grüne und blaue [mm] $\partial$ [/mm] "wegkürzen"?
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:25 Di 06.03.2012 | | Autor: | qsxqsx |
Naja weil die ableitung von q nach der Zeit ist q'. Ich meinte eigentlich das das blaue und das schwarze [mm] "\partial" [/mm] sich kürzen und die beiden roten!
Aber dann sag mir doch lieber wieso diese Gleichung L minimiert?!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Di 06.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Naja weil die ableitung von q nach der Zeit ist q'. Ich
> meinte eigentlich das das blaue und das schwarze [mm]"\partial"[/mm]
> sich kürzen und die beiden roten!
das verstehe ich dennoch nicht:
Du leitest doch [mm] $L=L(t,q,q')\,$ [/mm] partiell nach $q'$ ab. Gib' dem $q'$ mal einen anderen Namen, etwa [mm] $y\,.$ [/mm] Dann wäre [mm] $L=L(t,q,q')=L(t,q,y)\,.$ [/mm] Und wenn Du Dir dann klarmachst, was
[mm] $$\partial L/\partial [/mm] y$$
ist, siehst Du vielleicht einen der Haken in Deiner "Vorgehensweise mit dem Kürzen". [mm] $L\,$ [/mm] hängt ja "von der Funktion [mm] $q'\,$" [/mm] ab, nicht nur von [mm] $q'(t)\,.$ [/mm]
> Aber dann sag mir doch lieber wieso diese Gleichung L
> minimiert?!
Siehe Freds Antwort: Such' nach Büchern über Variationsrechnung oder google nach Skripten diesbezüglich. Oder schau' in Physikbüchern über Mechanik, oder etwa in Garcke, Mathematische Modellierung. Oder such in ausgewählten Büchern über Funktionalanalysis danach!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:18 Do 08.03.2012 | | Autor: | qsxqsx |
Ja iwie ists mir schon klar das mans nich so machen kann - und iwie hald auch doch nicht. Jedenfalls danke.
PS: Ich habs ja von nem Mechanik Buch - nur dort wirds so hingeschrieben als würd das völlig klar sein...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:28 Do 08.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja iwie ists mir schon klar das mans nich so machen kann -
> und iwie hald auch doch nicht. Jedenfalls danke.
>
> PS: Ich habs ja von nem Mechanik Buch - nur dort wirds so
> hingeschrieben als würd das völlig klar sein...
dann schau' mal etwa in den Garcke, Mathematische Modellierung. Ich glaube, der hat einen schönen Teil über Variationsrechnung da drin...
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:47 Di 06.03.2012 | | Autor: | fred97 |
Hall qsxqsx,
auch mal wieder da ?
Ich glaube, Du hast noch nicht so richtig verstanden, wie die Euler-Lagrange-Gleichung zustande kommt.
Gegeben sei eine Menge von differenzierbaren Funktionen auf dem Intervall [a,b] und eine Funktion L von 3 Variablen. Für f [mm] \in [/mm] M setze
j(f):= [mm] \integral_{a}^{b}{L(t,f(t),f'(t)) dt}
[/mm]
Frage: gibt es ein q [mm] \in [/mm] M mit:
(*) j(q) [mm] \le [/mm] j(f) für alle f [mm] \in [/mm] M ?
Falls es ein q [mm] \in [/mm] M gibt, für das (*) gilt, so erfüllt q die Euler-Lagrange-Gleichung.
Der Beweis hierfür ist nicht schwierig, aber zu lang um ihn hier zu präsentiern. Schau mal in Bücher zur "Variationsrechnung".
Gruß FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:31 Do 08.03.2012 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo Marcel, Hallo FRED,
> auch mal wieder da ?
Ja und ihr auch - gleich im Doppelpack schiesst ihr auf mich los:).
>
>
> Ich glaube, Du hast noch nicht so richtig verstanden, wie
> die Euler-Lagrange-Gleichung zustande kommt.
>
> Gegeben sei eine Menge von differenzierbaren Funktionen auf
> dem Intervall [a,b] und eine Funktion L von 3 Variablen.
> Für f [mm]\in[/mm] M setze
>
> j(f):= [mm]\integral_{a}^{b}{L(t,f(t),f'(t)) dt}[/mm]
>
> Frage: gibt es ein q [mm]\in[/mm] M mit:
>
>
> (*) j(q) [mm]\le[/mm] j(f) für alle f [mm]\in[/mm] M ?
>
> Falls es ein q [mm]\in[/mm] M gibt, für das (*) gilt, so erfüllt q
> die Euler-Lagrange-Gleichung.
>
> Der Beweis hierfür ist nicht schwierig, aber zu lang um
> ihn hier zu präsentiern. Schau mal in Bücher zur
> "Variationsrechnung".
Hab den Beweis jetzt durch - nur ich verstehs hald intuitiv nicht. Ich seh einfach nich wieso die gleichung dann das Minimieren soll, habs mir auch aufgezeichnet usw. Ich werd noch verrückt daran. Man kann sein ganzes Leben der Mathematik opfern und wird immer noch nicht fertig sein...
Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:24 Do 08.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel, Hallo FRED,
>
> > auch mal wieder da ?
>
> Ja und ihr auch - gleich im Doppelpack schiesst ihr auf
> mich los:).
sowas nennt man angewandtes Mehrfachschießverfahren :P
> >
> >
> > Ich glaube, Du hast noch nicht so richtig verstanden, wie
> > die Euler-Lagrange-Gleichung zustande kommt.
> >
> > Gegeben sei eine Menge von differenzierbaren Funktionen auf
> > dem Intervall [a,b] und eine Funktion L von 3 Variablen.
> > Für f [mm]\in[/mm] M setze
> >
> > j(f):= [mm]\integral_{a}^{b}{L(t,f(t),f'(t)) dt}[/mm]
> >
> > Frage: gibt es ein q [mm]\in[/mm] M mit:
> >
> >
> > (*) j(q) [mm]\le[/mm] j(f) für alle f [mm]\in[/mm] M ?
> >
> > Falls es ein q [mm]\in[/mm] M gibt, für das (*) gilt, so erfüllt q
> > die Euler-Lagrange-Gleichung.
> >
> > Der Beweis hierfür ist nicht schwierig, aber zu lang um
> > ihn hier zu präsentiern. Schau mal in Bücher zur
> > "Variationsrechnung".
>
> Hab den Beweis jetzt durch - nur ich verstehs hald intuitiv
> nicht.
Ich versteh' nicht ganz, wie Du das mit "intuitiv" meinst: Willst Du das sozusagen "anschaulich motiviert" haben? Da muss ich momentan auch passen (und wäre sogar froh, wenn Du, sobald Du was schönes findest, es mitteilst ^^)!
> Ich seh einfach nich wieso die gleichung dann das
> Minimieren soll, habs mir auch aufgezeichnet usw. Ich werd
> noch verrückt daran. Man kann sein ganzes Leben der
> Mathematik opfern und wird immer noch nicht fertig sein...
Die unendliche Geschichte... 
Wie gesagt: Versuch' mal, irgendwie an das Garcke-Buch (Prof. Dr. Harald Garcke heißtder Mann!) ranzukommen. Ich hab's nicht hier, sonst könnte ich mal selbst nochmal reinschauen, aber da stand das ziemlich vernünftig erklärt drin, wenn ich mich recht erinnere. Er motiviert da auch die Variationsableitung mit einfachen Beispielen (die auch irgendwie anschaulich sind - ähnlich, wie Heuser das auch oft macht...).
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:04 Fr 09.03.2012 | | Autor: | MatthiasKr |
Hallo,
>
> Wie gesagt: Versuch' mal, irgendwie an das Garcke-Buch
> (Prof. Dr. Harald Garcke heißtder Mann!) ranzukommen. Ich
> hab's nicht hier, sonst könnte ich mal selbst nochmal
> reinschauen, aber da stand das ziemlich vernünftig
> erklärt drin, wenn ich mich recht erinnere. Er motiviert
> da auch die Variationsableitung mit einfachen Beispielen
> (die auch irgendwie anschaulich sind - ähnlich, wie Heuser
> das auch oft macht...).
kennst Du Prof. Garcke? Er hat meine Diplomarbeit in Bonn betreut. Sein Buch habe ich allerdings noch nicht in der Hand gehabt.
gruss
matthias
PS. und doch noch kurz zum Thema: schau dir doch mal irgendwo die herleitung der gleichung für geodätische linien an. Das ist ein Prototyp der Variationsrechnung. Oder die herleitung der Laplace-Gleichung über minimierung der [mm] $L^2$-Norm [/mm] des gradienten. Wenn man es einmal an einem konkreten beispiel verstanden hat, versteht man es auch besser in der abstrakten form.
gruss
matthias
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:13 Mi 14.03.2012 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Danke für die Anmerkung. Das mit der Minimierung der [mm] L^{2}-Norm [/mm] muss ich jetzt aber etwas genauer wissen. Also mit ist bekannt, dass bei einer Ladungsanordnung sich das Elektrische Feld bzw. das Potential so im Raum verteilt, dass die Gesamtfeldenergie minimiert ist.
[mm] Grad(\phi) [/mm] = [mm] (-\overrightarrow{E})
[/mm]
Div(E) = [mm] \bruch{Q'}{\varepsilon_{0}*\varepsilon_{r}} [/mm]
[mm] \Delta \phi [/mm] = [mm] -\bruch{Q'}{\varepsilon_{0}*\varepsilon_{r}} [/mm] , wobei Q' die Ladung pro Volumen ist.
Minimiert wird nun W. Die Energiedichte ist w = [mm] \bruch{W}{V} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{|\overrightarrow{E}|^{2}}{\varepsilon_{0}*\varepsilon_{r}}
[/mm]
Jetzt komme ich bei der Minimierung bei der [mm] L^{2}-Norm [/mm] leider nicht auf die Laplace Gleichung:
|Grad(f)| = [mm] \wurzel{(\bruch{df}{dx})^{2} + (\bruch{df}{dy})^{2} + (\bruch{df}{dz})^{2}}
[/mm]
Da die Wurzelfunktion streng monoton ist, kann ich die auch weglassen =>
[mm] \vektor{\bruch{df}{dx}*\bruch{d^{2}*f}{dx^{2}} + \bruch{df}{dy}*\bruch{d^{2}*f}{dydx} + \bruch{df}{dz}*\bruch{d^{2}*f}{dzdx} \\ \bruch{df}{dx}*\bruch{d^{2}*f}{dxdy} + \bruch{df}{dy}*\bruch{d^{2}*f}{dy^{2}} + \bruch{df}{dz}*\bruch{d^{2}*f}{dzdy} \\ \bruch{df}{dx}*\bruch{d^{2}*f}{dxdz} + \bruch{df}{dy}*\bruch{d^{2}*f}{dydz} + \bruch{df}{dz}*\bruch{d^{2}*f}{dz^{2}}} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Das führt aber meiner Erkenntnis nicht zu [mm] \bruch{d^{2}*f}{dx^{2}} +\bruch{d^{2}*f}{dy^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{d^{2}*f}{dz^{2}} [/mm] = 0
Danke!
Abend.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Do 22.03.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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