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| Aufgabe | Wir betrachten das Funktional [mm] $\mathbb{F}(u)$:=$\int_a^b\omega(x,u(x))\sqrt{1+u'(x)^2}dx$ [/mm] auf der Klasse [mm] $C^2([a,b],M)$, [/mm] wobei [mm] $\omega\in C^2([a,b]\timesm,R_+)$ [/mm] eine Funktion mit positiven Werten und [mm] $m\subset\mathbb{R}$ [/mm] ein (uneigentliches) Intervall bezeichnen.
Wie lautet somit die Lagrange-Funktion $F(x,z,p)$ zu [mm] $\mathbb{F}$? [/mm] Man zeige, dass die Euler-Lagrange-Gleichung folgendermaßen aussieht:
[mm] $\kappa(x)\omega(x,u(x))\sqrt{1+u'(x)^2}=w_z(x,u(x))(1+u'(x)^2)-\omega_x(x,u(x))u'(x)$, [/mm] wobei [mm] $\kappa(x):=\frac{u''(x)}{(1+u'(x)^2)^{\frac32}}$ [/mm] die mittlere Krümmung des Graphen von u darstellt. |
Hallo zusammen.
Die Lagrange-Funktion sollte ja folgende sein:
[mm] $F(x,z,p)=\omega(x,z)\sqrt{1+p^2}$.
[/mm]
Die Euler-Lagrange-Gleichung berechnet man folgendermaßen:
[mm] $\frac{\partial}{\partial x}F_p(x,z,p)=F_z(x,z,p)$.
[/mm]
Also habe ich zuerst die Ableitungen berechnet.
[mm] $F_p=\omega(x,z)\frac{p}{\sqrt{1+p^2}}=\omega(x,u)\frac{u'}{\sqrt{1+(u')^2}}$.
[/mm]
[mm] $\frac{\partial}{\partial x}\frac{u'}{\sqrt{1+(u')^2}}=\ldots=\frac{u''(x)}{(1+u'(x)^2)^{\frac32}}=\kappa(x)$.
[/mm]
Folglich gilt: [mm] $\frac{\partial}{\partial x}F_p(x,z,p)=[\omega_x+\omega_zu']\frac{u'}{\sqrt{1+(u')^2}}+\omega\kappa.
[/mm]
[mm] $F_z=\omega_z\sqrt{1+(u')^2}$.
[/mm]
Die ELG lautet somit:
[mm] $\omega_z\sqrt{1+(u')^2}=[\omega_x+\omega_zu']\frac{u'}{\sqrt{1+(u')^2}}+\omega\kappa
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow \omega_z(1+(u')^2)=\omega\kappa\sqrt{1+(u')^2}+[\omega_x+\omega_zu']u' [/mm]
[mm] \Leftrightarrow \omega_z-w_xu'=\omega\kappa\sqrt{1+(u')^2}$.
[/mm]
Sieht hier jemand meinen Fehler? Es ist ja fast wie in der Lösung, es fehlt "nur" der Term [mm] $\omega_z(u')^2$.
[/mm]
Über Hilfe freue ich mich sehr.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:11 Mo 18.10.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Wir betrachten das Funktional
> [mm]\mathbb{F}(u)[/mm]:=[mm]\int_a^b\omega(x,u(x))\sqrt{1+u'(x)^2}dx[/mm] auf
> der Klasse [mm]C^2([a,b],M)[/mm], wobei [mm]\omega\in C^2([a,b]\timesm,R_+)[/mm]
> eine Funktion mit positiven Werten und [mm]m\subset\mathbb{R}[/mm]
> ein (uneigentliches) Intervall bezeichnen.
>
> Wie lautet somit die Lagrange-Funktion [mm]F(x,z,p)[/mm] zu
> [mm]\mathbb{F}[/mm]? Man zeige, dass die Euler-Lagrange-Gleichung
> folgendermaßen aussieht:
>
> [mm]\kappa(x)\omega(x,u(x))\sqrt{1+u'(x)^2}=w_z(x,u(x))(1+u'(x)^2)-\omega_x(x,u(x))u'(x)[/mm],
> wobei [mm]\kappa(x):=\frac{u''(x)}{(1+u'(x)^2)^{\frac32}}[/mm] die
> mittlere Krümmung des Graphen von u darstellt.
> Hallo zusammen.
>
> Die Lagrange-Funktion sollte ja folgende sein:
> [mm]F(x,z,p)=\omega(x,z)\sqrt{1+p^2}[/mm].
> Die Euler-Lagrange-Gleichung berechnet man
> folgendermaßen:
> [mm]\frac{\partial}{\partial x}F_p(x,z,p)=F_z(x,z,p)[/mm].
> Also
> habe ich zuerst die Ableitungen berechnet.
>
> [mm]F_p=\omega(x,z)\frac{p}{\sqrt{1+p^2}}=\omega(x,u)\frac{u'}{\sqrt{1+(u')^2}}[/mm].
> [mm]\frac{\partial}{\partial x}\frac{u'}{\sqrt{1+(u')^2}}=\ldots=\frac{u''(x)}{(1+u'(x)^2)^{\frac32}}=\kappa(x)[/mm].
Das kann nicht stimmen:
[mm]\frac{\partial}{\partial x}\frac{u'}{\sqrt{1+u'^2}} = \bruch{u''\sqrt{1+u'^2} - u'\bruch{u'}{\sqrt{1+(u')^2}} }{1+u'^2} = \bruch{u''(1+u'^2) - u'^2}{(1+u'^2)^{\bruch{3}{2}}}[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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