Euklidischer Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:45 Mi 04.10.2006 | | Autor: | vicky |
| Aufgabe | Sei B eine Basis des [mm] \IR^2 [/mm] und eine Bilinearform [mm] \beta: \IR^2 [/mm] x [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] in dieser Basis durch die Matrix
[mm] M_{B}(\beta) [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 2 }
[/mm]
gegeben. Wird dadurch [mm] \IR^2 [/mm] zu einem euklidischen Vektorraum? |
Hallo,
habe mich schon reichlich belesen doch mir fehlt da noch der letzte Dreh. Also eine reeller Vektorraum mit Skalarprodukt wird euklidischer Vektorraum genannt (lt. Def.). Einen reellen Vektorraum, sprich den [mm] \IR [/mm] habe ich ja und nun muß ich noch das Skalarprodukt finden. Weiterhin heißt es: ist eine symmetrische Bilinearform positiv definit heißt es Skalarprodukt. Wann eine Bilinearform positiv definit ist habe ich auch schon rausgefunden. Entweder falls alle Eigenwerte > 0 sind oder [mm] \beta(v,v) [/mm] > 0 für jedes v [mm] \in [/mm] V mit v [mm] \not= [/mm] 0. Wo ich jetzt "feststecke" ist folgendes: laut Lösungsblatt heißt es
Die Bilinearform ist offenbar symmetrisch. Für v= [mm] ab_{1} [/mm] + [mm] bb_{2} [/mm] gilt [mm] \beta(v,v) [/mm] = [mm] 2a^2 +2ab+2b^2 [/mm] = [mm] (a+b)^2+a^2+b^2, [/mm] was genau dann gleich null ist, wenn a=b=0 sprich v=0 ist. Also ist die Bilinearform positiv definit.
Woran sehe ich den "offenbar" das die Bilinearform symmetrisch ist? Weil die Matrix eine gewisse Struktur hat? Und meine wichtigste Frage: Wie kommt man auf die obigen Gleichungen?
Bin dankbar für jede Hilfe.
Beste Grüße
vicky
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:56 Mi 04.10.2006 | | Autor: | statler |
> Sei B eine Basis des [mm]\IR^2[/mm] und eine Bilinearform [mm]\beta: \IR^2[/mm]
> x [mm]\IR^2 \to \IR[/mm] in dieser Basis durch die Matrix
>
> [mm]M_{B}(\beta)[/mm] = [mm]\pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 2 }[/mm]
>
> gegeben. Wird dadurch [mm]\IR^2[/mm] zu einem euklidischen
> Vektorraum?
Hallo vicky!
> habe mich schon reichlich belesen doch mir fehlt da noch
> der letzte Dreh. Also eine reeller Vektorraum mit
> Skalarprodukt wird euklidischer Vektorraum genannt (lt.
> Def.). Einen reellen Vektorraum, sprich den [mm]\IR[/mm] habe ich ja
> und nun muß ich noch das Skalarprodukt finden. Weiterhin
> heißt es: ist eine symmetrische Bilinearform positiv
> definit heißt es Skalarprodukt. Wann eine Bilinearform
> positiv definit ist habe ich auch schon rausgefunden.
> Entweder falls alle Eigenwerte > 0 sind oder [mm]\beta(v,v)[/mm] > 0
> für jedes v [mm]\in[/mm] V mit v [mm]\not=[/mm] 0. Wo ich jetzt "feststecke"
> ist folgendes: laut Lösungsblatt heißt es
>
> Die Bilinearform ist offenbar symmetrisch. Für v= [mm]ab_{1}[/mm] +
> [mm]bb_{2}[/mm] gilt [mm]\beta(v,v)[/mm] = [mm]2a^2 +2ab+2b^2[/mm] = [mm](a+b)^2+a^2+b^2,[/mm]
> was genau dann gleich null ist, wenn a=b=0 sprich v=0 ist.
> Also ist die Bilinearform positiv definit.
Nimm doch v = [mm] v_{1}*b_{1} [/mm] + [mm] v_{2}*b_{2}
[/mm]
und w = [mm] w_{1}*b_{1} [/mm] + [mm] w_{2}*b_{2}
[/mm]
Dann ist [mm] \beta(v,w) [/mm] = [mm] (v_{1}, v_{2}) \pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 2 } \vektor{w_{1} \\ w_{2}}
[/mm]
Damit kannst du deine untigen Fragen beantworten.
> Woran sehe ich den "offenbar" das die Bilinearform
> symmetrisch ist? Weil die Matrix eine gewisse Struktur hat?
> Und meine wichtigste Frage: Wie kommt man auf die obigen
> Gleichungen?
Gruß aus Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Mi 04.10.2006 | | Autor: | vicky |
Vielen Dank für die Hilfe.
Was ich noch gerne wissen würde ist, wo die vielen [mm] a,b,b_{1}, b_{2},v_{1},w_{1} [/mm] usw. herkommen?
> Nimm doch v = [mm]v_{1}*b_{1}[/mm] + [mm]v_{2}*b_{2}[/mm]
> und w = [mm]w_{1}*b_{1}[/mm] + [mm]w_{2}*b_{2}[/mm]
> Dann ist [mm]\beta(v,w)[/mm] = [mm](v_{1}, v_{2}) \pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 2 } \vektor{w_{1} \\ w_{2}}[/mm]
>
Wenn ich das ausrechne dann erhalte ich [mm] \beta [/mm] (v,w) = [mm] 2v_{1}w_{1} [/mm] + [mm] v_{2}w_{1} [/mm] + [mm] v_{1}w_{2} [/mm] + [mm] 2v_{2}w_{2}. [/mm] Und dann? Das ist ja fast schon die Gleichung von oben doch leider nur fast. Habe ich einen Fehler gemacht?
Habe das noch nicht ganz verstanden. Kann mir nochmal jemand behilflich sein?
Vielen Dank
vicky
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:41 Do 05.10.2006 | | Autor: | statler |
> Vielen Dank für die Hilfe.
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> Was ich noch gerne wissen würde ist, wo die vielen
> [mm]a,b,b_{1}, b_{2},v_{1},w_{1}[/mm] usw. herkommen?
>
>
> > Nimm doch v = [mm]v_{1}*b_{1}[/mm] + [mm]v_{2}*b_{2}[/mm]
> > und w = [mm]w_{1}*b_{1}[/mm] + [mm]w_{2}*b_{2}[/mm]
> > Dann ist [mm]\beta(v,w)[/mm] = [mm](v_{1}, v_{2}) \pmat{ 2 & 1 \\ 1 & 2 } \vektor{w_{1} \\ w_{2}}[/mm]
>
> >
> Wenn ich das ausrechne dann erhalte ich [mm]\beta[/mm] (v,w) =
> [mm]2v_{1}w_{1}[/mm] + [mm]v_{2}w_{1}[/mm] + [mm]v_{1}w_{2}[/mm] + [mm]2v_{2}w_{2}.[/mm] Und
> dann? Das ist ja fast schon die Gleichung von oben doch
> leider nur fast. Habe ich einen Fehler gemacht?
>
> Habe das noch nicht ganz verstanden. Kann mir nochmal
> jemand behilflich sein?
>
Gerne vicky!
[mm] b_{1} [/mm] und [mm] b_{2} [/mm] sind 2 Basisvektoren, die Koeffizienten davor sind Skalare, und v und w sind als Linearkombinationen von [mm] b_{1} [/mm] und [mm] b_{2} [/mm] irgendwelche Vektoren.
Wenn v = w ist, d. h. wenn die entsprechenden Koeffizienten gleich sind, erhältst du deine ursprüngliche Gleichung zurück.
Vielleicht hätte man die Vektoren durch einen Pfeil besser kenntlich machen sollen, also [mm]\vec{b_{1}}[/mm], [mm]\vec{v}[/mm] usw.
Nun klarer?
Gruß aus dem Geomatikum
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:47 Do 05.10.2006 | | Autor: | vicky |
Super, vielen Dank für die Hilfe. Nun bekomme ich den Durchblick.
Beste Grüße
vicky
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