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Euklidischer Algorthmus(ggT): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:46 Mi 01.11.2006
Autor: Tommylee

Hallo ,
wir müssen folgendes zeigen :

für a,b  [mm] \in \IN [/mm]  sein M(a,b) :=  {ax + by  :  x,y [mm] \in \IZ [/mm] }

Nun sollen wir zeigen :

1 [mm] \in [/mm]  M(a,b)    [mm] \gdw [/mm]    ggT(a,b) = 1


Die eine Richtung ist klar :

ggT(a,b) =  1  [mm] \Rightarrow 1\in [/mm] M(a,b)

weil :  weil :   [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in \IN \exists [/mm] x,y  [mm] \Rightarrow [/mm]  ggT(a,b) = ax + by


Die andere Richtung krieg ich nicht hin :

zu zeigen also auch :

[mm] 1\in [/mm] M(a,b) [mm] \Rightarrow [/mm]    ggT(a,b) =  1


Versuch einer Folgerung :

[mm] 1\in [/mm] M(a,b)  [mm] \Rightarrow \exists [/mm] x,y [mm] \in \IZ \Rightarrow [/mm] ax + by = 1

aus    ax + by = 1   [mm] \Rightarrow [/mm]    ..................  [mm] \Rightarrow [/mm] ggT (a,b) = 1


Ich muss jetzt auf ....... kommen .   Hätte jemand eine Tip , der vielleicht
bei mir einen Klick auslöst ?

Vielen Dank für Eure Hilfe

bis dann

        
Bezug
Euklidischer Algorthmus(ggT): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:56 Mi 01.11.2006
Autor: Hanno

Hallo Tommy!

Überlege dir, dass jedes Element aus $M$ Vielfaches des ggT von $a$ und $b$ sein muss. Wenn der ggT also größer $2$ ist, dann kann die $1$ nicht in $M$ enthalten sein.

Allgemein ist das betragsmäßig kleinste Element in $M$ genau der $ggT$ von $a$ und $b$. Wenn du magst, kannst du ja mal versuchen, das zu beweisen.


Liebe Grüße,
Hanno

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