Erzeugung eines Vektors < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 Do 31.08.2006 | | Autor: | splin |
| Aufgabe | | Zeige, dass sich der [mm] \overrightarrow{b} [/mm] auf mehrfache Weise aus den Vektoren [mm] \overrightarrow{a1},\overrightarrow{a2},\overrightarrow{a3} [/mm] erzeugen läßt. |
Hallo!
Für diese Aufgabe habe ich folgenden Ansatz:
[mm] \overrightarrow{b}=r\overrightarrow{a1}+s\overrightarrow{a2}+t\overrightarrow{a3}
[/mm]
wenn ich die angegebene Vektoren einsetze, dann erhalte ich das:
1. 4 = r+2s+4t
2.-1 =-r+s-t
also zwei Gleichungen mit drei Unbekanten.
Ich habe versucht etwas zu eleminieren, geht nicht.
Hat jemand da eine Idee oder habe ich etwas falsch gemacht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:38 Do 31.08.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo splin
Wenn die Aussage wahr ist müssen die Vektoeren a1,a2,a3 linear abh. sein.
Dann reichen 2 davon, um dein b zu erzeugen. Also zuerst die ai untersuchen, wenn sie in einer Ebene liegen muss auch b in der Ebene liegen, damit man es erzeugen kann und dann natürlich reichen 2.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:39 Do 31.08.2006 | | Autor: | splin |
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Hi, splin,
> Zeige, dass sich der [mm]\overrightarrow{b}[/mm] auf mehrfache Weise
> aus den Vektoren
> [mm]\overrightarrow{a1},\overrightarrow{a2},\overrightarrow{a3}[/mm]
> erzeugen läßt.
Du hättest uns die Vektoren natürlich vorgeben müssen!
So muss man sie sich erst aus Deinem Ansatz "mühsam zusammenklauben":
Also: [mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ -1}
[/mm]
[mm] \vec{a1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -1}, [/mm]
[mm] \vec{a2} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 1}, [/mm]
[mm] \vec{a3} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ -1}, [/mm]
Ist es wirklich so, dass der Vektor [mm] \vec{b} [/mm] mit dem Vektor [mm] \vec{a3} [/mm] übereinstimmt?
Dann haben wir die erste mögliche Darstellung schnell gefunden:
[mm] \vec{b} [/mm] = [mm] 0*\vec{a1} [/mm] + [mm] 0*\vec{a2} [/mm] + [mm] 1*\vec{a3}
[/mm]
> Für diese Aufgabe habe ich folgenden Ansatz:
>
> [mm]\overrightarrow{b}=r\overrightarrow{a1}+s\overrightarrow{a2}+t\overrightarrow{a3}[/mm]
>
> wenn ich die angegebene Vektoren einsetze, dann erhalte ich
> das:
>
> 1. 4 = r+2s+4t
> 2.-1 =-r+s-t
>
> also zwei Gleichungen mit drei Unbekanten.
>
> Ich habe versucht etwas zu eliminieren, geht nicht.
Geht doch! Und zwar ganz einfach! Du musst die beiden Gleichungen nur zusammenzählen und schon fällt r weg:
3 = 3s + 3t <=> s + t = 1 oder: t = 1 - s
Setze das z.B. in die 2. Gleichung ein und Du erhältst:
-1 = -r + s - (1-s)
-1 = -r + 2s - 1
r = 2s.
Und damit erhältst Du weitere Darstellungen für den Vektor [mm] \vec{b}:
[/mm]
Z.B. mit s=1, t=0 und r=2
oder mit s=2, t=-1 und r=4,
oder auch s=3, t=-2, r=6
usw., usw.
(Übrigens: Für s=0 erhält man t=1 und r=0, also die bereits ganz oben genannte Darstellung!)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:41 Do 31.08.2006 | | Autor: | splin |
Vielen Dank für eure Hilfe !!!
MfG Splin.
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