Erzeugnis und Teilraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:30 Fr 02.01.2009 | | Autor: | Pille456 |
| Aufgabe | Es sei (V,+, ·) ein K-Vektorraum und M [mm] \subseteq [/mm] V eine beliebige
Teilmenge von V . Dann ist das Erzeugnis <M> von M ein Teilraum von V |
Hi,
Zu obigem Lemma steht im Skript dieser Beweis:
"Ist M = [mm] \emptyset [/mm] so ist nach Definition 0 [mm] \in [/mm] <M>. Andernfalls sei v [mm] \in [/mm] M; dann ist 0 = 0 · v [mm] \in [/mm] <M>. ... "
Den nachfolgenden Teil im Skript verstehe ich soweit, die Definition ist auch klar, nur wie kommt man darauf, dass 0 = 0 * v [mm] \in [/mm] <M> gilt?
Ich habe versucht mir das mal an einem kleinen, einfachen Beispiel klar zu machen, aber irgendwie fruchtet das nicht so ganz:
Gegeben sei der Vektorraum [mm] (\IR^{2},+,*) [/mm] über K (= [mm] \IR^_{2}) [/mm] mit der üblichen Addition und Multiplikation. M [mm] \subseteq [/mm] V = [mm] \{\vektor{1 \\ 2}, \vektor{0 \\ 2}\}. [/mm] Dann ist doch das Erzeugnis: <M> = [mm] \{\vektor{1 \\ 2}*\vektor{x \\ y}, \vektor{0 \\ 2} * \vektor{x \\ y} | x,y \in \IR\}
[/mm]
Wenn ich nun eine Teilmenge von [mm] \IR [/mm] nehme, in der die Null nicht enthalten ist, dann würde der obige Beweisschritt nicht gelten oder?
Hört sich für mich nach einem großen Denkfehler meinerseits an.. denke nicht,dass das Skript da falsch liegt. Was meint ihr dazu?
P.S: Bei einem K-Vektorraum, also eine Menge V mit zwei Abbildungen + und * müssen die Mengen bzw. der Körper K und die Menge V in keinerlei Beziehung (außer durch die beiden definierten Abbildungen) stehen oder?
Also könnte ich auch einen [mm] \IR-Vektorraum [/mm] mit [mm] (\IR^_{3},+,*) [/mm] haben oder?
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> Es sei (V,+, ·) ein K-Vektorraum und M [mm]\subseteq[/mm] V eine
> beliebige
> Teilmenge von V . Dann ist das Erzeugnis <M> von M ein
> Teilraum von V
> Hi,
> Zu obigem Lemma steht im Skript dieser Beweis:
> "Ist M = [mm]\emptyset[/mm] so ist nach Definition 0 [mm]\in[/mm] <M>.
> Andernfalls sei v [mm]\in[/mm] M; dann ist 0 = 0 · v [mm]\in[/mm] <M>. ... "
> Den nachfolgenden Teil im Skript verstehe ich soweit, die
> Definition ist auch klar, nur wie kommt man darauf, dass 0
> = 0 * v [mm]\in[/mm] <M> gilt?
Hallo,
Du mußt hierzu die definition des Erzeugnisses kennen.
Das Erzeugnis vom m besteht aus sämtlichen Linearkombinationen, die Du aus Elementen von M bilden kannst, und die Linearkombination 0*v=0 (mit [mm] v\in [/mm] M) ist eine davon.
> Ich habe versucht mir das mal an einem kleinen, einfachen
> Beispiel klar zu machen, aber irgendwie fruchtet das nicht
> so ganz:
> Gegeben sei der Vektorraum [mm](\IR^{2},+,*)[/mm] über K (=
> [mm]\IR^_{2})[/mm] mit der üblichen Addition und Multiplikation. M
> [mm]\subseteq[/mm] V = [mm]\{\vektor{1 \\ 2}, \vektor{0 \\ 2}\}.[/mm] Dann
> ist doch das Erzeugnis: <M> = [mm]\{\vektor{1 \\ 2}*\vektor{x \\ y}, \vektor{0 \\ 2} * \vektor{x \\ y} | x,y \in \IR\}[/mm]
Nein.
Es ist dann [mm] =\{a\vektor{1 \\ 2}+b \vektor{0 \\ 2}| a,b\in \IR\}.
[/mm]
> Hört sich für mich nach einem großen Denkfehler meinerseits
> an.
Schau Dir wie gesagt die Definition des Erzeugnisses nochmal genau an.
.
> P.S: Bei einem K-Vektorraum, also eine Menge V mit zwei
> Abbildungen + und * müssen die Mengen bzw. der Körper K und
> die Menge V in keinerlei Beziehung (außer durch die beiden
> definierten Abbildungen) stehen oder?
Stimmt.
> Also könnte ich auch einen [mm]\IR-Vektorraum[/mm] mit
> [mm](\IR^_{3},+,*)[/mm] haben oder?
Ja - wobei es hier ja eine ziemlich starke Beziehung gibt.
Gruß v. Angela
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